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数学小论文范文三：数学小论文 篇一
在生活中，各式各样的事情都能从一个普普通通毫不起眼的小事变成一个个既生动又引人深思的数学题。我们常做的应用题，就是在生活中取材，再稍加改编而成的题目。这不，我又在做数学题时发现了一道趣题：
在一个游泳池内，有一艘小船，上面有许多石头，现在把石头全部从船里扔到水中，请问，游泳池内的水位会上升、下降，还是不变？
乍一看题目，我便疑惑不解：这道题似乎和数学沾不上一点关系啊！这下该怎么做呢？我不气馁，努力思考，不一会儿便理出了头绪：当石头扔到水中后，船的重量减轻，便会上浮，水位也会下降，但石头在水中占了一部分空间，水位又要随之上升。因为这都是同一堆石头，所以上升与下降的幅度也应该一致，水位当然保持不变啦！可爸爸看了，却说是下降，我很不服气，决定与他打个赌
可是，用什么来证明我的猜想正确与否呢？这时，抽象的想象就没有真实的操作好了。于是，我便在爸爸的协助下作了一个实验：由于我能力有限，没法从外面搬来一个游泳池，也没法去造一艘小船，只好把题中的条件按比例缩小了。游泳池变成塑料盆，小船变成肥皂盒，石头则变成了五块橡皮。我先在塑料盆里倒进一些水，再把装着五块橡皮的肥皂盒放入水中，然后用直尺量出水位是20厘米。最关键的时刻到了，我把五块橡皮小心翼翼地从肥皂盒中取出，再全部投入水中，最后用直尺量出水位--天哪！竟然只有18厘米，是下降了！我错了！
虽然事实证明，水位是下降了，但我还是丈二和尚--摸不着头脑：这水位怎么会下降呢？
我苦思冥想了好长时间，草稿纸上全是一幅幅演示图，可我还是一筹莫展。我急得团团转，可越急脑子越乱，反而想不出了。就当我即将放弃的时候，我突然想起了数学家陈景润孜孜不倦，夜以继日算题目的故事，血液中仿佛充斥着一股勇往直前的力量，任何困难都挡不住我。果然，不出半小时，这道题我终于想通了：当石头在船上时，上升水的重量=石头的重量，而石头的密度比水大，因此同等重量的水和石头，水的体积大于石头的体积。当石头被投进水中后，水便下降了石头的重量，而石头在水中要占空间，因此，石头扔进水中后，水上升的体积=石头的体积。而同等体积的水和石头，水的重量小于石头的重量。综合以上几点，得到：石头扔下去后，水位下降的重量大于石头的重量，水位上升的重量小于石头的重量，也就是下降的水的重量大于上升的水的重量，于是下降的水的体积便大于上升的水的体积，水位当然下降了。就这样，一道难题便迎刃而解了。
其实，仔细观察，这道题与数学密不可分，其中的体积、重量、密度，都属于数学的范畴之内。你瞧，一个生活中的小事也能变成一道数学题，数学是无处不在的，让我们热爱数学，学好数学吧
初中数学职称论文 篇二
初中数学学生创新能力的培养
摘要：所以在初中数学教学中要做到：。数学教师的创新意识是培养学生创新能力的首要条件。
关键词：初中数学，创新能力
创新意识是指对创新的态度，是一个人对于创新活动所具有的比较稳定的积极的心理倾向。而数学创新意识则主要表现为对数学创新的态度和认识，是在后天的环境与数学教育影响下形成并发展起来的一种稳定的心理倾向。对于学生而言，数学创新更多的是指学生在学习数学的过程中所表现出来的探索精神，发现问题、提出问题、掌握数学思想方法的强烈愿望以及运用所学知识创造性地解决数学问题或简单的实际问题的能力。可以说这在很大程度上主要表现为一种创新意识。在2000年初(高)中数学教学标准中对数学创新意识有更为明确而具体的阐述：数学创新意识主要是指对自然界和社会中的数学现象具有好奇心，不断追求新知、独立思考，会从数学的角度发现和提出问题，并用数学方法加以探索、研究和解决。它至少包括数学创新欲望、数学创新情感、数学创新观念。
一、数学教师的创新意识是培养学生创新能力的首要条件
教育本身就是一个创新的过程，教师必须具有创新意识，改变以知识传授为中心的教学思路，以培养学生的创新意识和实践能力为目标，从教学思想到教学方式上，大胆突破，确立创新性教学原则。（一)克服对创新认识上的偏差。一提到创新教育，往往想到的是脱离教材的活动，如小制作、小发明等等，或者是借助问题，让学生任意去想去说，说得离奇，便是创新，走入了另一个极端。其实，每一个合乎情理的新发现，别出心裁的观察角度等等都是创新。一个人对于某一问题的解决是否有创新性，不在于这一问题及其解决是否别人提过，而关键在于这一问题及其解决对于这个人来说是否新颖。学生也可以创新，也必须有创新的能力。教师完全能够通过挖掘教材，高效地驾驭教材，把与时代发展相适应的新知识、新问题引入课堂，与教材内容有机结合，引导学生再去主动探究。让学生掌握更多的方法，了解更多的知识，培养学生的创新能力。（二）数学教师应当充分地鼓励学生发现问题，提出问题，讨论问题、解决问题，通过质疑、解疑，让学生具备创新思维、创新个性、创新能力。(三）数学教师运用有深度的语言，创设情境，激励学生打破自己的思维定势，从独特的角度提出疑问。培养学生对复杂问题的判断能力，在课堂教学中随时体现。
二、激活学生的数学创新欲望 创新欲望是人类与生俱来的一种本能。苏霍姆林斯基说，“人的心灵深处都有一种根深蒂固的需要，这就是希望感到自己是一个发现者、研究者、探索者。”初中学生的数学创新欲望最初只是一种朦胧的、潜藏的、无意识的本能，它没有明确的、稳定的指向，它需要教师在教学中来激活它，可以说，学生的数学创新欲望在很大程度上是数学教育的产物。它的强弱完全取决于后天所受的教育和熏陶。通过教师的正确引导和有效诱发，学生的数学创新欲望会得到强化，创新本能会被逐渐激活，学生的数学创新活动的行为指向也会更为鲜明、稳定，其行为目的也更加确定突出。在强烈的数学创新欲望的支配下，才会有积极的创造性思维和坚定的创造性实践。从数学创新欲望的激活到强化的过程，我们不难发现，数学教育在其中起着决定性的作用。作为数学教育，应将学生创新欲望的激活作为培育创新意识的第一要义，在教学中要很好的保护并激发学生学习数学的求知欲、好奇心及学习数学的兴趣，鼓励学生独立思考，不断追求新知，发现，提出，分析并创造性地解决问题，使数学学习成为再发现、再创造的过程。2000年秋季开始使用的中学数学新教材中，在必学
摘要求。通过实习作业和探究性活动，积极引导学生将所学知识应用于实际，从数学角度对某些日常生活、生产和其他学科中出现的问题进行研究，或者对某些数学问题进行深入探讨，充分调动学生的积极性，充分体现学生的自主性，使他们的创造潜能与禀赋得到展现，创新欲望和创新意识不断得到强化。在实施创新教育的过程中，不能从“为应试而教”转变到“为创新而教”，缺乏民主，师生之间是一种不平等的人格关系，师生不能平等进行交流，过分强调师道尊严，教师权威，其结果只能是压抑学生的创新欲望，最终埋没学生的创造天性。因此，教师可以充分利用“学生渴求未知的、力所能及的问题”的好胜的心理、数学中图形的美、数学中的历史人物、典故、数学家的童年趣事、某个结论的产生等等激发学生的创新兴趣。
三、教师是保护学生创新能力发展的“监护人”
在数学教学中，学生闪现的创造的火花，稍纵即逝，如果我们教师引导保护不够，就会扼杀这种创新的动力。所以在初中数学教学中要做到：
（一）分清学生错误行为是有意的，还是思维的结晶。教师在学生探索中，出现这样或那样的错误不要急于评价，出示结论，对发展中的个体要以辩证的观点、发展的眼光，实行多元化的发展的评价。从客观上保护了学生思维的积极性，促使学生以积极的态度投入到学习中去。
（二）多给学生一些鼓励，一些支持，对学生的正确行为或好的成绩表示赞许。学生时期自我评价能力较低，常常默认教师的评价，而且常以教师的评价衡量自己在群体中的地位。同时，又常从成人的表情或语言判断对其的评价，带有一定片面性。因此，教师应对学生正确行为表示明确的赞扬，使学生明白教师对他们的评价，增强他们的自信心，使学生看到自己成功的希望。
（三）保护学生的好奇心。初中数学给学生提供了很多好奇的源泉。好奇是学生与生俱来的天性，好奇是思维的源泉，创新的动力。因为好奇，学生有了创新的愿望，努力去揭开事物的神秘面纱，这种欲望就是求知行为在孩子心灵中点燃的思维的火花，是最可贵的创新性心理品质之一，但随着年龄的增长，好奇程度呈递减趋势，而创造性人才的特点却是永驻的，用好奇的眼光和心理去审视整个世界，每一个成才的人，必须保持这颗好奇的童心，教师对教学中学生好奇的表现应给予肯定。
在数学教学实践中，学生创新能力的培养是多方位的，既需要教师的主导，也需要学生的主体，只有师生共同的合作，才能教学相长。
数学小论文范文五：生活中的垂直与平行 篇三
数学老师说今天要在我们班举行公开课教学，让我们昨晚预习课本第64---65页，可我看了半天也不知什么意思，只知道书中有幅图画好熟悉和我们的操场设施一样。可老师说过"一定要预习，不然明天很多老师听课，叫到不会的话会很丢脸的，"没办法只好把书中的几个名词如"平行、垂直"记住，但究竟什么意思我还真不明白！
上课时间很快就到了，我们有些兴奋又有些紧张，因为这样的课每学期我们都会举行一次，开始上课了，老师首先让我们猜一猜，如果两根小棒把它们从高处往桌面上扔，这两根小棒可能会落在哪里？。很快我们就讨论出很多种的结果，有的说相交、有的说不相交、有的说会叠在一起、有的说快要叠在一起，同学们七嘴八舌的说着。。。。。。。，（老师提示说：如果把桌面和地面分别看成同一个平面），这两根小棒的位置关系会怎样的呢？
让我们闭着眼想想，如果我们把两根小棒看成是两条直线，哦原来两根小棒还可以看成两根直线，那不是就好思考多了，老师接着让我们把想的用彩笔画一画这两根小棒会出现的位置，我平常最喜难画画了，这可难不倒我，我一下子就画出了九种，同学们都争先恐后的拿着自己的作品上去"展览"，因为作品比较多，老师挑出一幅画得最多的我的作品出来讲解，开始我很得意以为我观察最仔细了，可是经过老师用直线可以无限延长原理讲解，最后只成了两类：一类为相交，另一类为不相交。我恍然大悟原来表象也是会骗人的呀！接着老师引导我们去概括"不相交"时为何为"平行"，老师利用课件把两根直线无限延长结果无论怎样它也不会相交在一起，这样我一下子我就明白了，接着老师让我们思考是不是不同的平面这两条直线也会平行呢？经过我们和老师印证结果并不一定，所以必须记住它有一个前提就是在同一个平面内，这样完整的平行定义就在我脑海中产生了，同一个平面内不相交的两条直线就是平行线，老师叫我们用自己的话说说两条平行直线：如直线a和直线b，我们可以说直线a是直线b的平行线，还可以说直线b是直线a的平行线，还可以说直线a和b直线互相平行的，接下来做练习时我们轻而易己就把它们给"解决"了。
认识了"平行"，老师直接让我们认识了另一位朋友"垂直"，并让我们认真观察什么时候图形是最特殊的？
我们观察后运用了解决平行的有关知识很快就发现第(2)图形不一样，用三角板一测还发现两条相交的这个角是直角呢！于是老师一一对垂直的有关知识进行了讲解，"交点"这时叫"垂足"，相交的这两条直线叫垂线，同样老师也让我们做了类似的练习，结果我们以更快的速度完成了练习。
最后一环是找"垂直与平行"老师说其实我们每天都在和垂线、让我们大家一起找一找，首先我们到了教室的，然后又到操场上去找，我们最后到了我们经常去玩的地方"云龙桥"去，结果发现这些我们经常去地方有很多的"垂直与平行"，我们大家都是惊讶极了，垂直与平行的现象真是无处不在，它不仅用处广泛而且美观，而且我们的生活也离不开垂直与平行。同学们，其实，生活就是数学的课堂，只要你有一双数学的眼睛，你也能发现很多的数学秘密噢！
小学数学论文格式 篇四
内容摘要:
对于小学低年级学生，教师要根据他们的心理现象及其发展规律，不断更新教学方法和手段，联系生活实际进行施教，培养学生学习数学的兴趣，使学生在自主探索、合作交流的过程中愉悦地学习，轻松地学习，快乐地体验，并逐渐获得成就感，培养学生的自信心来提高课堂成效。
关键词：
数学教学课堂教学教学方法数学兴趣乐学
如何提高小学数学课堂的成效是我们数学教师探讨的共同话题，去年我们学校结合小学生的心理特征开展了“三有”课堂教学模式，通过近一年对“三有”课堂教学模式理论的学习，结合我们自身的教学实践，采取了一些有效的教学方法，效果比较显著。下面我就谈谈自己在教学实践中的一些做法和体会。
一、与学生建立和谐的关系
良好的师生关系是进行正常教学活动，提高教学效率的保证。情感是教学的催化剂，爱是教育的原动力。在课堂上，老师真诚的笑容，信任的眼神，鼓动的话语，都会从心灵深处感染学生，激发学生学习的欲望。因此在课堂教学中，老师要以真诚的笑容面对每一个孩子，让每一个孩子都以良好的心态参与教师组织的课堂学习之中。要尊重每一个学生的人格、珍惜学生每一点滴的进步。对学生在教学活动中的成功或失败都要给予充分的肯定与鼓励，特别是失败的时候。尊重、珍惜和理解是师生和谐的纽带，也是调动学生学习积极性，发挥学生学习潜能的情感动力。要善于鼓励学生，以艺术的评价激发学生学习的内部动力。适时的鼓励能使学生进一步认识自已的潜能，鼓励性语言要简短精炼，这样可以提高学生学习的自信心。要理解学生，以情感的交流唤起学习数学的热情，经验告诉我们，心情舒畅，乐观开郎的。情绪能使人浮想联翩，思维活跃。因此，教师要与学生进行全方面的情感交流，努力营造民主和谐的师生关系，用爱来调动学生的学习积极性。
二、提高学习数学的兴趣
让学生知道数学来源于生活，而又服务与生活。兴趣是孩子最好的老师，也是孩子入门的先导，更是推动孩子学习的最实际的内部动力。有了兴趣，学生的思维才会处于活跃状态，才会去自主发挥他们的探究性和创造性。兴趣在活动中
产生，兴趣的激发和培养也离不开活动。学生通过课堂活动观察、实验、猜测、验证、推理与交流，不仅有助于他们理解所学的知识，而且可以激发他们学习数学的兴趣。例如，我在教学 "认识钟表"一课时，让学生拿着准备好的钟表，观察上面有几个针，引导让他们说出时针、分针、秒针之间的区别，如长短，粗细程度等，这样通过学生的自己动手操作，自己观察，随后老师对他们的回答给予肯定，学生的自信心提高了，教学效果明显。培养学生学习兴趣还可以采用直观操作、多媒体演示、学习竞赛、游戏、谜语导入、编学习歌谣等多种手段，充分调动学生手、口、脑等多种感官参与活动，帮助他们在自主探索、合作交流的过程中，获取教学活动的方法和体验，增长数学知识。在各种活动中学数学，激发了学生学习数学的情感，拓宽了学生的数学视野，培养了他们良好的思维品质和创新意识，激发了学生的求知欲。
三、培养学生的合作的能力
合作学习是国家基础教育课程改革所强调和提倡的新型学习方式之一，是新课程改革中的一个亮点。合作学习首先要合理分组。一般情况下，四个人为一组，每组各选一位优秀生为组长，在学习中 能以强带弱，共同进步，争取不让组内成员掉队。在教学中，我常采用下列办法培养学生的合作能力。鼓励学生学会表达自己的观点。小组合作学习需要每个成员都能积极的相互支持和配合，进行有效的沟通，特别是面对面的促进性互动，清楚的理解对方的想法与观点，积极承担自己扮演的角色。对那些内向的、怕羞、不敢说的学生要多加鼓励和引导。指导学生学会倾听。倾听，说起来容易，但做起来就有困难了。首先，要树立倾听的意识。教师应该告诉孩子们：如果你想得到别人的尊重，你自己就要先尊重别人，而倾听是你尊重他人的一种方式。其次，当众口头称赞那些愿意认真倾听他人的学生，建立起榜样。最后，评一评哪些学生学会了倾听。达成共识。让学生对组内的认知冲突进行有效解决，从而解决问题，理解知识，建立并维护小组成员之间的彼此信任。
四、课堂教学应具有幽默性，让学生乐学
在数学教学中巧妙地运用幽默，可使教师的讲课变得风趣、诙谐，具有一定的艺术魅力，同时也能让学生在课堂上产生一种积极愉快的感觉，减弱或抵消一部分紧张和疲劳，从而创造一种使师生双方心情舒畅的教学环境。因此我们鼓励
课堂中采用幽默性的教学语言，但不是所有的幽默语言都可以拿到课堂上来，课堂教学语言的幽默必须遵循教学性、规范性、科学性、启发性，同时应做到适时适度。这样对课堂教学才会起到催化和促进作用。
五、注重学习方法的指导
要提高课堂教学效率，就要让学生在数学知识形成过程中掌握规律、方法，逐步培养学生举一反三、融会贯通的能力，引导学生由"学会"向"会学"发展。这就要求我们在教学时，必须结合数学知识的特点，引导学生逐步理解和掌握获取数学知识的方法。如尝试学习的方法、发现学习的方法、阅读学习的方法、操作学习的方法、迁移类推学习的方法等。还要让学生学会分析、假设、比较、逆向等解题方法。学生借助这些学法便能更好地消化、吸收、应用数学知识，从而达到提高教学质量的目的。许多数学知识，不仅需要学生理解，更要让学生记住它。在教学实践中，我们归纳了理解记忆法、规律记忆法、重点记忆法、联想记忆法、归类记忆法、谐音记忆法、比较记忆法、歌诀记忆法、实践记忆法等十种记忆方法让学生根据具体情况进行记忆，取得了很好的效果。
六、联系生活进行教学
数学教学应该充分利用学生已有的生活经验，引导学生把所学的数学知识应用到现实中去，以体会数学在现实生活中的应用价值。”因此，在小学数学教学中，教师要注重引导学生领悟“数学来源于生活，而又服务与生活”的道理。有些数学知识完全可以让学生在生活实践中去感知，学会从生活实践中解决数学问题，让数学真正服务于生活，并且能注重培养学生在生活实际中“用数学”的意识。那么，如何处理数学教学与生活的完美结合，构建和谐的数学课堂呢？那么我们的数学教学就应该联系生活、贴近生活，让学生熟知、亲近现实的生活数学走进学生视野，进入课堂，使之产生亲近感，变得具体、生动，诱发学生的内在知识潜能。例如在教学"时分的认识"后，让学生动手动手做一个时钟模型，并说说自己在各个时段都干什么，然后联系实际合理安排自己的作息时间。这样不仅把所学的知识应用于生活实践中，而且培养了学生的应用意识和实践能力。 参考文献：《怎样运用巧妙方法上好小学数学》《 激发学生学习数学的兴趣》
初中数学职称论文 篇五
谈数学思想数学方法在初中数学教学中的渗透
摘要：数学思想和方法是数学知识的精髓，又是知识转化为能力的桥梁。在教学中渗透数学思想和数学方法，是提高学生数学思维能力和数学素养的重要途径，也是培养创造型人才的需要。作为数学教师，应把数学思想和数学方法渗透在数育教学过程中。渗透“方法”了解“思想”， 训练“方法”理解“思想”， 掌握“方法”运用“思想”，提炼“方法”完善“思想”。
关键词：数学思想 数学方法 数学教学
所谓数学思想，就是对数学知识和方法的本质认识，是对数学规律的理性概括和认知。所谓数学方法，就是解决数学问题的根本程序，是数学思想的具体反映。数学思想是数学的灵魂，数学方法是数学的行为。要全面提高学生的数学素质，形成创新思维能力，掌握科学的学习方法，就必须紧紧抓住数学思想和数学方法的教育和培养这一重要环节。
按照人们认识事物的认知规律，由感性认识到理性认识，由感性的积累到理性的飞跃，才能形成一个完整的认知过程，从而在此基础上开始又一轮的更高程度的认知。数学学习也是这样，运用数学方法解决数学问题的过程，就是感性认识不断积累的过程。当感性认识量的积累达到一定程度时，就会产生理性认识质的飞跃，从而上升为数学思想。在数学教学中，我们也要遵守这样的认知规律，由方法的积累到思想的飞跃，而不能违背科学的认知规律。
一、渗透“方法”，了解“思想”
初中学生的数学知识还相对贫乏，抽象思维能力还有待于训练和提高。因此必须将数学知识作为载体，把数学思想和数学方法的教学逐步渗透到数学知识的教学中。教师要把握好渗透的时机和渗透的程度，举一反三循序渐进。重视数学概念、公式、定理、法则的提出过程，知识的形成、发展过程，解决问题和规律的概括过程。使学生在这些过程中展开思维，从而发展他们的科学精神和创新意识，形成获取、发展新知识，运用新知识解决问题的能力。忽视或压缩这些过程，一味向学生灌输知识的结论，就必然失去渗透数学思想、方法的一次次良机。如初中数学七年级上册课本《有理数》这一章，与原来部编教材相比，它少了一节——“有理数大小的比较”，而它的要求则贯穿在整章之中。在数轴教学之后，就引出了“在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大”，“正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数”。而两个负数比较大小的全过程单独地放在绝对值教学之后解决。教师在教学中应把握住这个逐级渗透的原则，既使这一章节的重点突出，难点分散；又向学生渗透了数形结合的思想，学生易于接受。
二、训练“方法”，理解“思想”
数学思想的内容是丰富多彩的，方法也有难易之别。因此，教师在渗透数学思想和数学方法的过程中，必须遵循循序渐进的原则，有重点有步骤地进行渗透和教学。教师要全面熟悉初中三个年级教材的编排体系、知识结构、能力层次、重点难点。认真钻研教学大纲，吃透教材，努力挖掘教材中进行数学思想和数学方法渗透的条件和因素。对数学知识从思想方法的角度进行认真分析、系统归纳、科学概括，形成全面完整的认知和梳理。同时要对三个年级不同学生的年龄特点、认知能力、接受能力、知识能力基础有一个全面而准确的了解和把握。由易到难、由浅入深、分阶段、分层次地进行数学思想和数学方法的渗透。
如在教学同底数幂的乘法时，引导学生先研究底数、指数为具体数的同底数幂的运算方法和运算结果，从而归纳出一般方法。在得出用a表示底数，用m、n表示指数的一般法则以后，再要求学生应用一般法则来指导具体的运算。在整个教学中，教师分层次地渗透了归纳和演绎的数学方法，对学生养成良好的思维习惯就会起到重要作用。
三、掌握“方法”，运用“思想”
数学知识的学习要经过听讲、复习、做习题等才能掌握和巩固。数学思想、方法的形成同样有一个循序渐进的过程。只有经过反复训练才能使学生真正领会。另外，使学生形成自觉运用数学思想方法的意识，必须建立起学生自我的“数学思想方法系统”，这更需要一个反复训练、不断完善的过程。比如，运用类比的数学方法，在新概念提出、新知识点的讲授过程中，可以使学生易于理解和掌握。学习一次函数的时候，我们可以用乘法公式类比；在学习二次函数有关性质时，我们可以和一元二次方程的根与系数性质类比。通过多次重复性的演示，使学生真正理解、掌握类比的数学方法。
四、提炼“方法”，完善“思想”
教学中要适时恰当地对数学方法给予提炼和概括，让学生有明确的印象。由于数学思想、方法分散在各个不同部分，而同一问题又可以用不同的数学思想、方法来解决。因此，教师的概括、分析是十分重要的。
教学中那种只重视讲授表层知识，而不注重渗透数学思想、方法的教学，是不完备的教学。它不利于学生对所学知识的真正理解和掌握，使学生的知识水平能力水平难以提高；反之，如果单纯强调数学思想和方法，而忽略数学知识的教学，就会使教学流于形式，成为无源之水，无本之木，学生也难以领略深层知识的真谛。因此数学思想的教学应与整个数学知识的讲授融为一体。教师要正确处理知识和能力的关系，精心组织课堂教学，充分发挥学生的主体作用和教师的主导作用。坚持不懈地照着一个目标迈进，就一定能够实现教育教学的改革和创新，就一定能够完成素质教育的光荣任务。
数学小论文范文四：数学论文 篇六
生活中，处处都有数学的身影，超市里，餐厅里，家里，学校里………都离不开数学。我也有几次对数学的亲身经历呢，我挑其中一件事来给大家说一说。
那是一个阳光明媚的上午，我和妈妈一起去超市买衣服，进入超市，还没走几步，我就被一个非常漂亮的衣服所吸引了，只见这个衣服的上方写着八折，我心想:这么便宜的衣服，怎么不去抢购呢？我便拿起衣服去试衣间试了一下，结果很合身。妈妈便对我说:“打八折就用100乘以0.8，价格是80元。”旁边还有一件和这个差不多的衣服，价钱却150元，但上面却写着买一送一，妈妈便很开心地奔过去，觉得自己赚了，便去收银台付了钱，高高兴兴地回家了。当时我也觉得挺划算的，也没想什么。
晚上爸爸回来了，我们便把这个好消息告诉了爸爸:“我们今天用150元买了两件衣服，本来应该80元买1件。”爸爸却说:“这件衣服我在一家商店里，看到了一模一样的衣服，只要60元。连上面的厂家都一样。”我们这才知道我们不是赚了，而是亏了。
生活中处处有数学，只要你多观察，多思考，多留心，你就会发现人家发现不了的东西比如:买衣服，都会有许多学问呢！
数学小论文范文一：数学论文 篇七
我曾经看过这样一个新闻，说人的心脏和人的拳头差不多。今天，我就要来量量我的拳头的体积，也好了解一下自己的心脏有多大。
可是，人的拳头是一个不规则物体，怎么量呢？我可以借助水来啊！
我找来一个从里面量得底面半径4厘米，高是15厘米的圆柱体杯子，先把拳头放了进去，再往里面放水，一直放到拳头全部浸了水中。量一量，水面的高度是9厘米。我再把拳头拿出来，水面就从9厘米降到4厘米，下降了5厘米，这5厘米水的体积就是我的拳头（心脏）的体积。我在用“π×5×5×(9﹣5)”计算出了自己拳头的体积，约为251立方厘米。
我测完后，还不敢确定是否正确，于是又做了一个实验。
我又拿出一个从里面量长和宽都是9厘米，高是10厘米的长方体盒子，我先把我的拳头放进去，再往里面放黄沙，直到正好把拳头淹没，我用直尺把黄沙抹平，正好10厘米高。然后，我小心翼翼地将拳头从盒子里拔出来，把掉到桌子的黄沙检出来，把沙子摇平。这时，沙子的高度是7厘米。我再用"9×9-(9-7)"来算，算出了我的拳头（心脏）的体积约为243立方厘米。
通过两次实验，我发现结果都差不多，于是我用(251+243)÷2，算出了拳头的体积约250立方厘米，这时，我就知道了我的心脏大概也这么大。
小学数学论文格式 篇八
论文关键词：
小学数学素质教育，策略
一。 培养小学生的创新思维
创新思维是一种发现问题、积极探求的心理取向。创新是一个民族的灵魂，小学生则是一个民族的期望所在，因此培养小学生的创新思维和创新能力不仅是小学数学教学的任务，也是民族发展的任务。为了全面实施素质教育，培养具有创新意识和创新能力的高素质人才，以适应这个竞争激烈的知识经济时代，要求教师们要跟上时代的步伐，接受新观念、新思想，用新的思维方式来指导教学，把学生创新思维的培养放在首位。由于数学是一门富有创新内涵的学科，数学知识比较抽象，因此数学教学更要重视学生创新意识的培养。作为小学数学教师，应该依据学科特点，努力培养与发散小学生学习数学的创新思维。
教学过程是一个不断发现问题并不断解决问题的循环过程，而创新过程不仅是智力活动过程，还需要以创新情感为动力，有敢于创新不怕困难的勇气。小学数学教学过程中培养小学生创新意识的有效途径有很多，如巧妙构思教学方法，精心设计问题形式等等。课堂教学语言是师生双向信息交流的载体，教师的主导作用要很好地体现出来，对于小学生尤为重要。教学语言的设计至关重要。关键性的教学语言应该既精练又能引起学生的兴趣，激活学生的思维，激发他们的求知欲，使学生始终处于积极主动的状态。
总之，培养小学生数学学习创新意识和初步的创新能力，关键在于教师，教师自己要彻底改变传统的教学观念，做到勇于创新、善于创新，同时要把培养学生的创新意识和思维贯穿于整个教学活动中，只有这样，才能培养出具有创新意识的高素质人才。
二。 以学生为主体，进行适量合理的练习
以学生为主体，就是学生在教师的鼓励启发下，参与教学的某些过程，主动获取知识。小学生获取知识是在直接感知的基础上进行抽象概括，年级越低感知越高，其思维是一个由感性到理性，由具体到抽象的过程，其具体程序是提供事实—操作、观察—分析、综合、比较—抽象、概括。根据小学生的这一思维特点，如果每堂课都以学生为主体，进行适量合理的练习，让学生积极参与教学的全过程，充分发挥学生的主体作用，使学生能主动获取知识。这样才能激发小学生的创新意识，开拓小学生的创新思维。
1、 鼓励小学生动手操作
瑞士心理学家皮亚杰说“知识的本身就是活动。”动作和思维密不可分。动手操作是学生获取知识的重要途径，也是教学的有效手段之一，能够激发学生的学习兴趣。活动是儿童的天性，对于形象思维为主的小学生来说，应把机械单调的练习转变为学生自己的有声有色的活动，让学生在实践中去观察、实验、猜测、验证、推理和交流。学生自己动手实际操作，可以培养手脑并用的能力，及初步掌握独立操作的基本技能。教师在教学中，应倡导学生做到边观察边思考，获得全面正确的知识。例如，讲授几何认知课时，让学生自己设计制作一些简单的图形，通过看、摸、数、量的实践活动，充分感知，在此基础上抽象出各种形状特征等。这样就把抽象的数学概念转化为具体形象知识，小学生比较容易接受。
2、 鼓励小学生动口“演讲”
动口，就是让学生去讲、去说，让学生围绕一个中心问题进行讨论，鼓励学生积极发言，各抒己见。例如一道数学题可能有几种解法，在老师的引导下启发学生动脑思考，积极发言，甚至鼓励学生走上讲台，把自己思考的方法直接讲给全班同学听。这种方法可以为一题多解开拓思路，发散思维，相互启发。学生在课堂实践中，通过多向思维，甚至逆向思维逐渐学会了创新，加速了认知过程。通过让学生把思维过程和结果用语言表达出来，可以达到集思广益，取长补短的效果。
3、 适量、合理、生动的练习
兴趣是人对客观事物的一种积极的认识倾向，它推动人去探求新的知识，发展新的能力。小学数学教学应努力创造生活情境，将“生动活泼”的数学与学生的生活、学习联系起来。对小学生而言，数学练习或者作业也同样需要“生动活泼”。现在，某些数学练习题是纯数学化的题目，题目的呈现方式乏味、枯燥，无法激起学生的热情和兴趣。相反，有些优秀的小学数学题目新颖独特，有的还配以生动的图片，简单形象直观，激发小学生的兴趣，有助于对题目的理解，同时可以展开丰富的想象，结合现实生活，达到正确理解问题并解决问题的目的。这样利用学生熟悉的故事人物，创造一种融洽、宽松的教学情境，学生跃跃欲试，兴趣浓厚，消除了胆怯的心理，无拘无束地充分表现自己的思想、认识、情感，就能积极主动地参与学习讨论过程，从而萌发创新意识和想象能力。
总之，让学生多种感官并用，去观察、去发现、去思考。同时，老师需要设计和布置适量、合理、生动活泼的练习来培养学生的学习兴趣。这样，学生在主动获取知识的同时，开发了思维，培养了能力。
三。 增加情感交流，激发学生学好数学的积极性。
韩愈在《师说》中说过“师者，传道授业解惑者也”。作为一名教师，不仅是向学生传播知识，还要对学生的人格健康发展负一定责任。因此，教师要爱护学生，要把感情交流和心理交流贯穿在整个教学过程，成为学生信赖的朋友。学会对学生进行表扬而非批评，鼓励而非不屑，给予一次表现的机会，给予一个热情鼓励的目光，都可能激发学生们学习数学的兴趣和动力。教学过程中，民主、和谐、宽松、自由的氛围能极大限度的发挥人的自由创造才能。要想促进学生的创造力，就需要有一个和谐的环境，给学生留下充分表现和发挥个性的平台。这种民主、和谐的氛围，是培养学生创新意识的一块肥沃的土堆，只要拥有了这片土堆，学生的创新意识才得以萌发。在平时教学中，教师就要用尊重、平等的情感去感染学生，善于运用直观形象的画面、生动有趣的游戏、耐人寻味的故事、风趣幽默的谈话等创设一种和谐的情境。在这种轻松、自由的氛围下，学生对所学知识产生浓厚的兴趣，才能积极参与到探索、尝试的过程中来。
总之，要在小学数学课堂教学中实施素质教育，必须在现代教育思想指导下，充分利用科学的方法，根据小学生的思维特点和认知规律，认真研究教学方法，合理设计教学过程，采用灵活多样的教学方法，充分发挥教师的主导作用和学生的主体作用，激发学生的学习兴趣和培养学生的创新意识。积极引导学生参与教学的全过程，使学生的多种感官并用，促进学生素质的全面提高。
数学论文 篇九
摘要：小学教育中，数学是非常重要的一项基础学科，但是由于这门学科具有较强的抽象性，因此很多小学生在对这门学科的学习中会比较容易出现各种问题。小学数学学困生这一问题也对提高数学课堂教学效率造成了一定程度的影响，并且直接影响到了学校整体的教育教学质量。当前阶段对于数学学困生的转化已经成为学校和教师共同关注的一个问题。本文针对小学数学学困生形成的原因进行了分析，并对此提出转化策略。
关键词：小学数学；学困生；转化策略
随着近些年来教育改革的不断推进，小学阶段的教育中也明确的提出：在学习过程中要让小学生得到全方位的发展，不出现偏科的现象。目前小学阶段的教育中，语文和数学还是最主要的两门学科，相对于数学课程来说，小学语文因为有较强的故事性，所以更容易被小学生所接受。很多小学生会认为学习数学很枯燥，除了背加减乘除法的口诀就是背一些数学公式，表现在课堂教学中就是注意力很难长时间集中，给小学数学的教学工作增加了诸多困难。实际教学中，学困生的问题或多或少存在于每个班级，然而学困生的形成大多数都不是因为学生智力的问题。如何转化学困生，是当前我们小学数学教师需要关注的一个重要问题。
1小学数学学困生的成因
1.1学生缺乏对数学的学习兴趣：小学生难以学好数学的主要原因还是在于学生在学习数学时的态度，大多数学困生会因为觉得数学学科枯燥乏味，因而在学习数学时会比较随意，往往在学习数学的过程中遇到难题就会丧失学习的兴趣。此外，还有的学生因为在其他学科的学习成绩也比较落后，从而导致自信心的缺乏，认为自己不够聪明，学什么都学不好，面对数学更是产生了畏惧心理［1］。这些都是造成学困生不能学好数学的主要因素，同时也让很多小学数学教师大感头疼。1.2教师教学方法有待改进：说到数学教师，很多学生的第一印象都会觉得数学教师大多数都很刻板严肃，学生与教师之间存在距离感。很多小学数学教师在教学过程中很少去关注学生的心理状态，也很少有感情投入，关注的重点往往只在对知识的讲解上。还有少数教师只喜欢数学成绩比较优秀的学生，甚至还有厌恶数学成绩较差的学生，从而造成这些学生产生一定程度的厌学心理。再加之本来就比较枯燥乏味的数学知识。使学生在心理上更加抵触数学，最终导致学生更加难以学好数学。1.3学生缺乏学习数学的良好习惯：学习习惯需要学生通过长期的实践来逐步建立和养成。对于学生而言，学习习惯的好坏对他们的学习效果有着巨大影响。大多数时候，学生的学习品质都是由他们的学习习惯所决定的。学生如果缺乏良好的学习习惯，那么他在学习的过程中就很容易出现如：学习目标不明确、学习态度不端正以及学习意志不强等问题，而在这些问题的影响下，学生更难以建立良好的学习习惯，如此一来就会形成恶性循环，最终使学生的学习效果大打折扣。大多数学困生的不良学习习惯都表现为：课堂上注意力不能集中、不愿意主动思考问题、无法独立完成数学作业、没有良好的读题和审题习惯以及完成解题后没有检查和验算的习惯。
2小学数学学困生的转化策略
2.1培养学生的学习兴趣：数学这门学科的特点是科学和严谨，同时数学还是一门具有抽象性的学科，这也是学困生不能学好数学的主要原因。要让学生学好数学，就需要把抽象的数学知识直观的展现给学生，使其能够更加吸引学生的注意力，从而使学生的学习情趣得到提高。由于小学生年龄还小，通常都比较好动，容易对身边的新鲜事物感兴趣。因此，小学数学教师需要充分利用小学生的这一特点［2］。例如：在教学长方形和正方形的时候，教师可以给学生布置一项课后作业，让他们回家之后利用废纸张自己动手制作长方体和正方体的盒子各一个，同时教师要指导学生如何裁剪和粘贴制作纸盒，制作过程中可以参照自己的铅笔盒和家中的收纳盒等。最后要还要在课堂上表扬做得好的学生，以及耐心的指正做得不太好的学生。这样一来，既帮助学生加深了对长方形和正方形授课内容的理解，也锻炼了学生的动手能力，同时还达到了激发学生创作热情，增加学生学习兴趣的目的。2.2改进教学方式：教师要积极改进当前的教学方式，教学流程要根据教材的特点进行合理的设计，同时要采取灵活多变的教学方法，组织和开展例如：分组讨论、合作探究以及动手操作等多种新式的教学模式。把数学知识与实际生活紧密联系起来，使数学知识更加直观，从而让学困生也能够积极的参与学习活动，让他们从中体验和感受到学习的乐趣，并且接受所学的内容，以此帮助他们树立学好数学的自信心。同时教师还可以在课堂教学的过程中多为学生介绍有关数学的发展史和小故事，营造一种轻松愉快的课堂教学氛围。此外，教学时还需要注意因材施教，针对学生不同数学水平提出不同的要求，由于数学学困生逻辑思维能力较差，教学过程中要尽量从他们的实际水平出发，深入浅出的进行教学，适当降低对学困生的要求标准，尽可能让所有学生都能在原有的数学基础上发挥出最大的潜能。2.3培养学生良好的学习习惯：学生良好的学习习惯可以有效的促进他们学习能力的提升。因此，在实际教学过程中，教师要注重培养学生良好的学习习惯。在学生有良好的表现时，要及时的给予表扬，并且尽量的为其创造条件使其能够重复出现，从而使学生形成习惯。对于那些不良的表现，教师也要及时的给予否定，使其出现的机会减少。教师要同时注重引导学生进行自我评价和自我分析，以此增强他们学习的主观能动性和自觉性，进而达到促进良好学习习惯养成的目标。在教学过程中，教师可以根据学生的个体差异为其制定学习目标，并且经常对目标的完成情况进行验收，发现有不合理的地方要及时的进行修改。尤其是在目标制定的初始阶段，不能给学困生制定过高的学习目标，要让他们从中能够体会到完成目标时的成就感。教师要及时给予他们表扬和鼓励，帮助其养成给自己制定学习目标的好习惯。
3结语
数学学困生的转化工作不是一朝一夕就可以完成的事，数学教师要有足够的耐心，细致有效的开展这项工作，既要帮助他们改变对数学学科的思想认识，同时还要激发他们学习数学的兴趣，树立学好数学的自信，养成良好的数学学习习惯。才能让他们热爱数学，学好数学。
参考文献
［1］刘艳芝。探究小学数学教学对学生兴趣的培养［J］。中华少年。科学家，2017.（01）：120－121.
［2］赵广江。小学数学教学方法与学习心理分析［J］。林区教学，2017.（01）：83－84.
数学学术论文 篇十
论数学
讨论任意领域中智力活动的性质是一件困难的任务，对处于人类智能中心领域的数学就更是如此。对人类智能的性质作一般的讨论，从本质上来说是困难的，它在任何情况下总比只涉及那些特殊范围的智能的讨论要更为困难。理解飞机的结构和升力、推力的力学原理，比乘坐飞机、以至驾驶它要更为困难。在没有以直观的和 经验的方式获得某些知识之前，在没有预先了解、熟悉以及驾驶过飞机之前，人们就能理解原理及其过程，这是罕见的。
在数学领域中，这种讨论如果以一种非数学的方式进行的话，限制将更为苛刻。讨论必然会显示出某些不良的特性，得到的结果所依据的材料决不可能充分；相反，面面俱到的肤浅的讨论却不可避免。尽管我甚至意识到，我将要提出的说法有不少短处，但是很抱歉我还是得说下去。此外，我准备表述的观点，也完全可能不为许多其他数学家所赞同。你可能获得一个人为的不太系统的印象和解释。我提出的看法，对这些讨论究竟有多少价值，也许是很小的。在我看来，刻画数学特点的最有力的事实，是它和 自然 科学 的特有 联系。或者更一般地说，它和任何一类比处于纯粹描述水准更高级一些的、能对经验作出解释的科学的特有联系。大多数数学家和非数学家将会同意，数学不是一门经验科学，或者至少可以说它不是以某种来自经验科学技术的 方法 实现的，但是它的 发展 和自然科学却紧密相联。它的一个主要分支几何学，买际上起源于自然科学、经验科学。某些 现代 科学中最大的灵感（我认为是最大的）清楚地来源于自然科学，数学方法渗透和支配着自然科学的许多“ 理论 ”分支。在现代经验科学中，能否接受数学方法或与数学相近的物 理学 方法，已愈来愈成为该学科成功与否的主要标准。确实，整个自然科学一系列不可割断的相继现象的链，它们都被打上数学的标志，几乎和科学进步的理念是一致的，这也变得越来越明显了。生物学变得更受到化学和物理渗透，这些化学是实验和理论的物理，而物理是形式甚为数学化的理论物理。
有一个甚为特殊的数学性质的两重性，人们必须理解它，接受它，并且把它吸收到自己正在思考的主题中去。这种两重性是数学的本来面目，我不相信无需牺牲事物的实质，就可能简化和单一化对事物的看法。
因而我并不试图为你提供一种单一化的模式，我将尽可能地，描写数学所具有的多重现象。无可否认，在人们能想象的那部分纯粹数学中，某些最为激动人心的灵感来自自然科学，我将提及两个最值得纪念的事实。
第一个例子是几何学。几何学是古代数学中的一个主要部分，现在仍然是现代数学中几个主要分支之一。毋庸置疑，它的古代起源是经验的，它开始成为一门学科并不像当今的理论物理。离开这些迹象，就很难说“几何学”是什么了，欧氏的公理化处理是几何学脱离经验向前跨出一大步的标志，但是它全然不能简单地被看成是决定性的、绝对的、最终的一步。欧氏的公理化在某些方面并不能满足现代绝对的公理化对严格性的要求，当然这不是主要的方面。最本质的是某些无疑是经验的学科，如力学和热力学，也或多或少地常常由某些作者提出一些公理化的处理。然而所有这些都很难超出Euclid的程序。我们 时代 的经典理论物理，Newton原理，它的文字形式和最重要的实质部分都是很像Euclid的。当然在所有这些例子中，提到的公设都是以支持这些定理的物理考察、实验论证作为后盾的。但是人们可以论证：在几何学获得两干多年的稳定和权威之前（这种权威是理论物理的现代结构所缺乏的），特别从古代的观点来看，提出一种类似于Euclid的解释是可能的。
尽管自Euclid以来，在使几何学与经验脱离方面已经逐步地取得了进展，但是哪怕在今天，它也决没有变得十分完备。非欧几何学的讨论提供了这方面的一个好的说明。它也对数学思想的矛盾状态提供了一种说明，尽管这种讨论大部分发生在高度抽象的水平上，它所处理的是欧氏“第五公设”是否为其他公设的推论的纯粹逻辑 问题 ；形式上的论战由Kl Ein的纯粹数学的典范作品所 总结 。他证明了一欧氏平面，可以通过形式地重新定义某些基本概念而成为非欧平面。这里从开始到结束，都还是由经验促进的。所有欧氏公设的原始根据显然都是对整个无穷平面的概念所作出的非经验的刻画，为什么只有第五公设会有问题呢？这种撇开所有数学的逻辑 分析 ，坚持必须由经验来确定欧氏几何是否有意义的思想，确实是由最伟大的数学家高斯提出的，后来由Bolyai，Lobachevsky，Riemann和Kl EIn把它变得更为抽象。然而我们今天所考察的关于最初争论的形式上结果，不管是经验的或者物理学的，都已有定论。广义相对论的发现，迫使人们对关于几何学相互关系的观点进行修正。这种修正是在全新的背景下进行的。最后，人们就能接触到一幅完成了的可供比较的图景。这最后的进展是由这样一代人完成的，他们看到了欧氏公理方法已被现代公理派逻辑数学家处理成为完全非经验的和抽象的。这两种表面上似乎是冲突的态度，完美地合并成一种数学思想；因此，Hilbert在公理几何学和广义相对论方面都作出了重要的贡献。第二个例子是微积分，或者说是由它生成的数学分析。微积分是近代数学的最早的成果，对它的重要性，作任何估价都很难认为是过高的。尽管我认为它的确定比现代数学发端中的任何其他事物具有更多的歧义性，但是数学分析的系统，它的逻辑展开仍然是精确思维方面最大的技术上的进步。
微积分的起源显然是 经验的，Kepler尝试着做的最早的积分，被叫做“dolichometry”——小桶的量度——即量度由曲面包围起来的物体的容积。这是非公理化的，经验的几何学，而不是Euclid以后的那种几何学，Kepler是完全知道这些的。Newton和L Eibniz的那些主要成果和主要发现确实起源于物 理学 。Newton发明的“流数”运算，本质上是为了力学。事实上，这两门学科，微积分和力学，是由它们或多或少地结合在一齐而得到 发展 的。微积分的最初的一些陈述，数学上甚至可以是不严格的。一个不精确的半物理的陈述，是Newton以后一百五十多年来仅有的一种可供使用的陈述！这一时期数学 分析 取得了某些最重要的进步，而这种不精确性不能适应于基础！这时期的某些主导的数学精神显然是不严格的，如Euler;但是另外一些数学家，主要的如Gauss和Jacobi就并非如此。这种发展极为含混和模糊，它和经验的关系，确实不是按照我们（或Euclid）提出的抽象的和严格的想法那样。但是并没有数学家想排斥它。那个时期确实也产生了第一流的数学。即使在本质上是由Cauchy重建的严格性盛行之后，一种特殊的半物理 方法 在Riemann那里仍然得到了复萌。Riemann的 科学 的个性本身就是一个数学的两重性的光辉榜样，这些可以在Riemann和W EIerstrass的争论中见到，如果我详细地列出这些，恐怕会使技术细节叙述得过分多了。自Weierstrass以来，分析数学似乎变得完全抽象、严格和非经验了，其实这也不是绝对真实的。在最近两代人中发生的有关数学和逻辑的“基础”的争论，驱散了许多关于这方面的错误的幻想。
这为我带来了第三个例子，它和上述争论的判断是有关的，但是这个例子更多地是论述数学与 哲学 或认识的关系，而不是数学与 自然 科学的关系，它用一种引人注目的方式说明“绝对的”数学严格性的概念并不是不可改变的。严格性概念的可变性表明：在数学抽象之外的某些事物，作为补偿不足必须进入数学。在分析关于“基础”的争论时，我一直不能使自己确信：这种说法一定有利于外部成分的经验性质，尽管在讨论的某些言词上，对这样一种说明的支持是十分强有力的，但是我并没有把它看作是绝对地不可争议的。然而有两件事是清楚的。第一，已经引入某些非数学事物，这是本质的，不管它与经验科学或者哲学或者与两者如何 联系，它的非经验的特点，仅当人们假设哲学（更为专门的认识论）能够独立于经验而存在时才能使人注意（这个假设仅是必要的而不是充分的）。第二，不顾关于“基础”的争论可能作出的最好解释，数学的经验来源是受到如我们较早提到的例子（几何学和微积分）的强有力地支持的。在分析数学严格性概念的可变性时，我希望主要强调的是上面已谈及的“基础”的论争。但是，我喜欢首先简要地考察 问题 的第二方面。尽管这方面也能加强我的论证，但是我把它看作第二位的，因为它的结论的终极性比“基础”论证的分析要少，我正在把这个归诸于数学“风格”的改变。大家知道，写出的数学证明的风格已经经历了相当大的起落，说起落比趋向要好一点，因为在某些方面，当代作者和18世纪或19世纪的某些作者之间的差别比当代的作者和Euclid之间的差别要更为大一些。此外，另一方面，它们有着值得注意的经久不变的东西。在有些呈现了某些差别的领域，无需引进任何新的思想，它们的主要差别，就可能消除。但是在许多场合，这些差别是如此的广泛，以致使人开始怀疑：在这种分歧的道路上，差别是否能仅仅由作者的风格、试验和 教育 上的差别来说明呢？他们实际上在构成数学的严谨性方面是否具有同样的思想呢？最后，在极端的情况下（例如：上面所说的18世纪后期分析方面的许多 工作），差别既是本质的，如果完全只是为了有助于新的和意义深远的已经发展了一百多年的 理论 的话，它又是可以补救的，有些按此种不严格方式工作着的数学家（或者他们的某些对此持批评态度的同辈人）是意识到它们缺乏严格性的。或者更为客观地说：他们关于什么是数学程序的想法是愿意遵循我们提出的观点的，但他们的行动却并非如此。但是另一些人，例如：这时期的最伟大的学者Euler似乎坚定地持有自己的标准，并且一直在按他自己标准行事。
但是我不想进一步强调这件事。我将回到刚才停下的关于“数学基础"的论争方面去。在19世纪末和20世纪初，抽象数学的一个新分支，G.Cantor的集合论，引出了困难。即某些推理引向了矛盾；当这些推理并不处于集合论的中心的和“普适”的地位时，总比较容易根据某些形式的标准消除它，但是为什么集合论的后继部分比集合论自身更可信这是不清楚的。除了事后看到它们事实上引向灾难之外，对什么是先验的动因，什么是与之一致的 哲学 特征，人们如何从想要解决的集合论中去分离出它们也是不清楚的。紧接着对这种情况进行 研究 的主要是Russell和Weyl，后来由Brouwer作出结论，这些研究表明：不仅集合论，而且大部分 现代 数学所使用的“一般有效性”和“存在性”概念，在哲学上是要引起异议的。一个较少地具有这种不可预料的特点的“数学系统”是“直觉主义”，它是由Brouwer 发展 的。但是按这种方式，现代数学中，特别是在 分析 数学中，百分之五十以上的最有生机的部分或者要被“清除”掉，或者将变得无效了，或者必须补加某些更为复杂的考察来进行论证。后一过程，常常使有效性的一般性和推导的漂亮方面会有所减色。但是Brouwer和Weyl认为：根据这些思想去修正数学严格性的概念是必要的。
不可能过高地估计这些事情的意义。在20世纪30年代，有两位持第一种态度的数学家实际上提出了：数学的严格性概念和怎样构成一个精确证明的观念应该是可以改变的！下列的展开是值得注意的：
1、仅有很少的数学家，在他们自己日常 工作中，愿意接受新的，苛刻的标准。尽管很多数学家称颂Weyl和Brouwer的基本想法是正确的，但是他们自身继续不受干涉地工作着，即按“老”的容易的方式搞他们自己的数学。
2.Hilbert追随着下面这个天才的思想去论证“经典”的（即直觉主义以前的）数学：即使在直觉主义系统中，也可以对经典数学是如何运算的给出严格的说明。也就是说人们可以描述经典系统是如何工作的，尽管人们不能论证这种工作。因此有可能直觉主义地证明：经典的程序决不可能引向矛盾。显然这样的证明是很困难的，但是对于怎样才能达到它，有着某些启示。按这个方案进行工作，有可能提供一个在与直觉主义系统相反的基础下证明经典数学的最为值得重视的证明。至少，这个解释在大多数数学家愿意接受的数学哲学系统中将是合法的！
3、 在试图建立这个规划的大约十年之后，G6del作出了最为值得铭记的结果。这个结果，如果没有某些附加的不引起误解的说明，那是不能作绝对精确的陈述的。它的基本 内容 是这样的：如果一个数学系统并不引向矛盾，那么这件事实，使用该系统的程序是不可证明的。GOdel的证明满足数学严谨性的最严格的标准——直觉主义的标准。它对Hilbert纲领的 影响 作用引起了某些争论，不过说理太技术化了。我现在的观点也和许多人一样，认为G6del已经证明了Hilbert的纲领本质上是无用的。
4、在Hilbert或Brouwer意义之下论证经典数学的主要想法已经过去了。大部分数学家决定使用任意的系统。总之经典数学过去曾产生的结果既是雅致的又是有用的。即使人们不能绝对地确定它的现实性，但是把它作为基础还是稳妥的，如像 电子 的存在那样。因此，如果人们愿意接受 科学 ，人们就同样能接受经典的数学系统，甚至对直觉主义的某些最初的拥护者来说，这样的观点也成为可接受了。当前关于“基础”的论争，确实不太紧凑了，但是，经典系统将被大多数人而不是少数人抛弃的想法，似乎最不受欢迎。
我对这个论争的沿革，已经作了如此详细介绍，因为我想这是最谨慎的对数学的严格性是不可改变的说法的异议。这发生在我们自身的 时代 ，我惭愧地知道自己关于绝对的数学真理性看法，在这一时期是怎样容易地改变的，并且是怎样相继地改变了三次的。
我希望上述占了我文章一半篇幅的三个例子已足以说明许多最好的灵感来自于 经验。很难相信，存在着与人类所有经验相联的、绝对的、不可变动的数学严格性的概念。关于这个 问题 ，我企图采取一种低姿态，不管你对 哲学 或认识论持何种偏爱，任何一个了解数学的人，都会实际感受到一种经验，它很少会支持这样的假设：存在一个先验的数学严格性的概念。然而，我的文章还有另外一事，现在我试图转向这部分。
对任何数学家来说，很难相信数学是一门纯粹经验 科学 ，或者说，所有数学概念都起源于经验主体。首先让我们来考察陈述的第二部分。 现代 数学中有各种各样重要部分，它的经验来源是不可追溯的。或者说，如果可以追溯的话，也是如此间接，显然地自它割断它的经验根源之后，就面貌全非了。代数符号是为了数学本身的使用而发明的。当然也可以合理地断言：它加强了与经验的 联系，但是，现代的抽象代数，已经愈来愈朝着与经验很少相联的方向 发展 。关于拓扑也可以这样讲。在所有这些领域，数学家主观上的成功标准和作用价值，是自身相容、符合美学和脱离（或几乎脱离）经验（关于这些，我将进一步叙述）。在集合论中，这更为明显，一个无穷的“幂”和“序”，可以是有限数概念的推广，但是在他们的无限形式中（特别是“幂”），它们和这个世界很难有任何联系。如果我不想避免某些技巧，我能够用数集 理论 作为例子来详细地叙述这一点。“选择公理”问题，无限“幂”的“可比较性”，“连续统”问题等等，也是如此。同样的评述可以 应用 到实函数论和实点集论：尽管它们可以被设想成是抽象的，不可应用的学科，并且按这种精神来看，几乎总是雅致的，然后在十年之后，有的可能在一个世纪之后，却变得对物 理学 十分有用。它们主要地仍然是在追求象征性的、抽象的、非应用的精神。
所有这种情况，以及它们的各种组合的事例可以不断重复，但 是，我想转到我前面指出过的第一方面去：数学是一门经验科学吗？或者更精确地说，数学真的是按经验科学那样 实践的吗？或者， 更一般地说：数学家和他的课题的标准关系是什么？他向往的成功标准是什么？什么 影响 、什么考虑在控制和指引着他的努力呢？
然后，让我们来看，数学家常规的 工作 方法 和 自然 科学家工作方法的差别在哪里。这种差别的持续，显然影响了从理论学科到实验学科，继而从实验学科到描述学科之间的差别。因而让我们把数学与最相近于数学范畴的学科——理论学科作一比较。让我们在这里选取一个与数学最相近的学科——理论物理。数学和理论物理实际上有着许多共同之处。正如我前面已说过的，Euclid几何系统是经典力学公理描述的原型。类似的现象是热力学的陈述，充满着如同Maxwell的描述电动力学系统，以及狭义相对论的句子。此外认为理论物理不管是分类的还是综合的，都不是解释现象的态度，今天已为大多数理论物理学家所接受。这意味着，这理论成功的标准，只需看一看它是否能建立一个简单的和雅致的，分类的或综合的能概括许多现象的框架；这些现象如果没有这个框架将会显得复杂和参差不齐的，进而看它是否能概括没有考察到的或者提出框架 时尚 不知晓的现象（这后面两种说法代表一个理论的统一性和预见力）。现在展示在这里的标准——显然极大地扩充了美学的性质，由于这个理由，它和你将要看到的对数学来说几乎完全是美学的成功的标准是很密切相联的。因此，我们现在可以把数学和与它最相近的自然科学作比较，与我想我已说明了的和数学有许多共同之处的理论物理相比较。然而在实际的惯用的方法中差别是巨大的和基本的，理论物理的目标主要来自“外界”，大部分是由于实验物理学的需要。他们几乎总是起因于想解决某一难题，预见和协调的成功通常会跟着到来。这看来是相似的，进展（预见和协调）来自 研究 过程，这种研究对解决某些原先存在的难题是必然要经历的。理论物理中的一部分工作是为了探索某种障碍，这种障碍的“突破”提供了发展，如我已提及的，这些难题通常源于实验；但是有时它们却是可接受的理论本身中各部分之间的不协调之处，当然，例子也是不少的。
Michelson实验导致狭义相对论，某些电离电位和光谱结构的难题导致量子力学，这些就是第一种情况的例子；狭义相对论和Newton引力 理论 之间的冲突导致广义相对论，这是第二种情况的例子，这里从任何方面看，理论物理的 问题 都是客观地给定的，而作为衡量成功的标准，如我在上面所指出的，主要是美学的。但是也有一部分，我们上面提及过的具有基本的“突破”的问题，很难说它起源于客观实在。据此可见，理论物理的课题几乎各个时期都是非常集中的，一切物 理学 家的最重要的努力都集中在一、二个十分尖锐的领域，1920年代和1930年代初，集中在量子理论，1930年代后半期集中在基本粒子和核结构方面就是一些例子。
总的说来，数学的情况就不同了。由于在特点、风格、目标和 影响 方面相互之间广泛的差别，数学被分成许多分支。它显得和理论物理极为集中的情况十分相反。今天大多数物理学家仍然需要具备有关他的课题的有用知识一半以上，我怀疑，任何一个现在在世数学家会具备四分之一以上与他的课题有关的有用知识。在一个数学分支中“客观地”给出的“重要”问题可以相去甚远。数学家选这个课题，或者选其他课题，基本上是自由的，然而理论物理的一个“重要”问题常常是一种必须加以解决的一个冲突、矛盾。数学家有广泛的领域供他转换选题，他在选题方面可以有适当的自由，而对于决定选题，选题的标准和成功的标准，主要是美学的说法是正确的。我感到这个断言是会引起争论的，这是不可能“证明”的。有充分的理由可以说，这里的美学特点甚至比我们前面讨论理论物理时所提到的例子还要更为突出。人们期待一条数学定理或者理论，不仅要能用简单的和雅致的方式去描述而且还要能去划分大量的原先根本不同的各别情况。人们也期待它的构造在“美学上”的“雅致性”和在叙述问题时的自如性，如果你能自如地叙述问题，把握它和企图解决它，那么某些使人惊奇的探索过程中遇到的曲折会变得容易了等等。如果推导是冗长的或者复杂的，应该存在某些简单的一般原则，可以用来“说明”复杂性和曲折性，这些标准显然就是对任何创造性 艺术 所提的标准。所有这些和 经验 科学 相比，在艺术气氛方面将更会纯粹和简单。
你将会注意到，我不曾提到数学与实验科学和技术科学之间的比较。这里， 方法 上的和一般气氛上的差别是太明显了。
数学概念来源于经验，尽管有时系谱是长远的曲折的，这种说法是一个适当的对真理的逼近。真理是太复杂了，以至能容纳任何事物，而不是逼近。但是一旦它们被设想出来后，这个主题开始按它自己特有的活力生长，并且在几乎完全按美学动机给出的创造物方面；它将比任何事物，特别是经验科学来得好。但是，我相信还有问题需要进一步强调，因为一门数学学科远离它的经验来源，或者说，如果仅是简接地来自“现实性”，是由现实激励生成的第二和第三代学科的话，这是一个最大的危险。它将变得愈来愈美学化，愈来愈艺术化。如果这个领域是由相关联的仍然与经验紧密相联的学科围绕着的话，或者说，如果这些学科处于受到特殊的、训练有素的人的影响之下的话，这不是坏事。但是也有一种重大的危险，学科只沿着远离根源的流一直持续展开下去，并且分割成多种没有意义的分支，学科将变成一种繁烦的资料堆积。换言之，远离经验来源，一直处于“抽象的”近亲交配之中，一门数学学科将有退化的危险。开始时，风格是古典的，当它显示出怪异时，危险就来了。要给出这样的例子是容易的，它们沿着一些特殊进展进入怪异的，以至高度奇异的状态，但是细说这些就太技术化了。
在任何事件中，不管它已达到什么样的阶段，对我来说仅有的补救是回复到源泉去：把它或多或少地重新对应到经验概念中去。我相信，这些要求过去是保持学科的生气勃勃和有效性的必要条件，今后，它同样将仍然是正确的。
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