浅谈初中数学中数形思想转化12-19下面是众鼎号整理的9篇《数形结合在高中数学教学中的应用》，希望能够对困扰您的问题有一定的启迪作用。
《浅谈“数形结合”在小学低段数学教学中的应用》王敏 篇一
《浅谈“数形结合”在小学低段数学教学中的应用》王敏
摘要：
恩格斯曾说过：“数学是研究现实世界的量的关系与空间形式的科学。”数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义，又揭示其几何直观，使数量关的精确刻划与空间形式的直观形象巧妙、和谐地结合在一起，充分利用这种结合，寻找解题思路，使问题化难为易、化繁为简，从而得到解决。“数”与“形”是一对矛盾，宇宙间万物无不是“数”和“形”的矛盾的统一。华罗庚先生说过：数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休。
关键词：
数形结合 低段数学 低年级学生
一、有利于把抽象的数学概念直观化，帮助学生形成概念
建构主义认为学生学习活动的本质是：学习并非对于教师所授予的知识的被动接受，而是学习者以自身已有的知识和经验为基础的主动建构过程。 学生在进入小学学习之前，他们的知识基本上是建立在现实生活中客观事物上的。其知识特点是直观形象，看得见，摸得着。而进入小学阶段，教师如果运用数形结合来引入新知、建构概念、解决问题，就相当于在原有的知识体系上添砖加瓦，新知识的学习就变得更简单。这样新学的知识就会具有较高的稳定性和牢固性，而我们也达到了所需的教学效果，也就是所谓深入浅出。
例如：在一年级上册中，学生刚学习数学知识时，教材首先就是通过数与物（形）的对应关系，初步建立起数的基本概念，认识数，学习数的加减法；通过具体的物（形）帮助学生建立起初步的比较长短、多少、高矮等较为抽象的数学概念；通过图形的认识与组拼，在培养学生初步的空间观念的同时，也初步培养学生的数形结合的思想，帮助学生把数与形联系起来，数形有机结合。在以后年级的学习中，随着学生年龄的增长，思维能力的不断提高，数与形的结合就更加广泛与深入。
再如：二年级数学第一册中《乘法的引入》。
用相同的图像引导学生列出同数相加的算式，这样一方面利用数形结合思想直观、形象、生动的特点展现乘法的初始状态，懂得乘法的由来（知识的产生与发展）；另一方面借助学生已有的知识经验——看图列加法算式，加深了图、式的对应思想，无形中也降低了教学难度。
我在实际课堂教学中运用PPT幻灯片技术展现一个盆子里有三个苹果，然后依次出现这样的第二个盆子，第三个盆子，一直到第五个盆子，如何来表示这个场景呢？学生自然会用同数相加的方法来表示。接着，教师一边出示课件一边提出：“如果有20个盆子，30个盆子，甚至100个盆子，你们怎么办呢？”学生一片哗然：“哦~~！！算式太长了，本子都写不下呢。”这时，建立乘法概念水到渠成！数形结合使学生不仅理解了乘法的意义，而且懂得了乘法是同数相加的简便运算。
从学生的思维活动过程来看：在这个片段中，学生经历了由具体到抽象的思维过程，也就是由直观的小船，抽象成连加算式，抽象成乘法算式，经历了由一般到特殊的思维过程。
在三年级上册分数的初步认识中，通过具体的形的操作与实践，让学生充分理解“平均分”，几分之一，几分之几等数学概念，掌握运用分数大小的比较，分数的意义，分数的加减等，使数形紧密地结合在一起，把抽象的数学概念直观地呈现在学生面前，帮助学生理解掌握分数的知识。
二、使计算中的算式形象化，帮助学生在理解算理
小学数学内容中，有相当部分的内容是计算问题，计算教学要引导学生理解算理。但在教学中很多老师忽视了引导学生理解算理，尤其在课改之后，老师们注重了算法多样化，在计算方法的研究上下了很大功夫，却更加忽视了算理的理解。我们应该意识到，算理就是计算方法的道理，学生不明白道理又怎么能更好的掌握计算方法呢？在教学时，教师应以清晰的理论指导学生理解算理，在理解算理的基础上掌握计算方法，正所谓“知其然、知其所以然。” 根据教学内容的不同，引导学生理解算理的策略也是不同的，我认为数形结合是帮助学生理解算理的一种很好的方式。
如，在教学“分数加分数”时，课始创设情境：小明过生日，他吃了这个蛋糕的1/8,妈妈吃了这个蛋糕的2/8,他们两人一共吃了这个蛋糕的几分之几？、糕字在引出算式1/8+1/8后，我采用三步走的策略：第一，学生独立思考后用图来表示出1/8+1/8这个算式。第二，小组同学相互交流，优生可以展示自己画的图形，交流自己的想法，引领学困生。学困生受到启发后修改自己的图形，更好地理解1/8+1/8这个算式所表示的意义。第三，全班点评，展示、交流。
再如，在教学有余数的除法时，我就是利用7根小棒来完成的教学的。首先出示7根小棒，问能搭出几个三角形？要求学生用除法算式表示搭三角形的过程。
像这样，把算式形象化，学生看到算式就联想到图形，看到图形能联想到算式，更加有效地理解算理。
三、应用“数形结合”，提高学生的能力
对大脑的科研成果表明，大脑的两半球具有不同的功能，左半脑功能偏重于抽象的逻辑思维，讲究规范严谨，稳定封闭，如数的运算、代数式的运算、逻辑推理、归纳演绎等。右半脑功能则偏听偏重于形象思维，讲究直觉想象，自由发散，如猜想、假设、构思开拓、奇异创造等。左、右半脑的功能各有特征，如果互相补充就会使大脑功能更加健全和发达。“数形结合”就同时运用了左、右半脑的功能，在培养形象思维能力时，也促进了逻辑思维能力的发展。
1．“数形结合”有助于对数学知识的记忆
“记忆是智慧的仓库”。人的知识、经验的积累、技能的形成、技巧的熟练、思维能力的培养、事业的成就等都离不开良好的记忆能力。 中等职业教育中的数学知识是基础性知识，需要牢固地记忆并掌握这些基础知识，在此基础上做到灵活应用，在整个教学过程中，这二者是相辅相成的。记忆正是掌握知识的基本手段，记忆的过程也就是知识积累的过程，同时有助于知识的深化，知识水平的提高更是要以记忆为前提。有的学生面对一些数学问题束手无策，找不到解题的思路与方法，这与脑子里记忆的数学知识太少有关。只有对数学的基础知识记忆牢固，才能做到温故而知新，应用时熟能生巧，才能进一步发展数学思维，提高数学能力。教学中运用形象记忆的特点，使抽象的数学尽可能地形象化，对学生输入的数学信息和映象就更加深刻，在学生的脑海中形成数学的模型，可以形象地帮助学生理解和记忆。
2．应用“数形结合”，训练学生数学直觉思维能力
在数学里，存在着大量的直觉思维。这就是人们在求解数学问题时，运用已有的知识，从整体上对数学对象及其结构迅速识别、判断，进而作出大胆的猜想，合理的假设，并作出试探性的结论。它具有顿悟、飞跃的特征。
3．应用“数形结合”，培养学生的发散思维能力
发散思维是从同一来源的材料或同一个问题，探求不同思路和方法的思维过程，其思维方向是从不同角度、不同方面看待同一个问题。在教学中常借助“一题多解”或“一题多变”的形式，突出已知与未知之间的矛盾联系，来引发学生提出新的思想、新的方法、新的问题，达到知识融会贯通，发展思维的广阔性和灵活性，激励学生的好奇心和求知欲，提高解决问题的应变能力。
4． 应用“数形结合”，培养学生的创造性思维能力
目前，推行素质教育已成为教育发展的主流。对学生进行综合素质和能力的培养，是建立新世纪创造性人才队伍的需要。，是思维的最高境界。只有具有创造性思维能力的人，才能在各自的领域中有所创造发明，才能推动科学技术、人类社会的向前发展。在数学教学中，教师可通过编选一些探索性的题目，让学生去研究，去探讨，去发现。让他们不是从头脑中已有的思维形式和思维方法中去找答案，而是从问题的本身进行具体的分析，进行一系列探索性思维活动，将已有的思维方式大跨度地迁移，从可供选择的途径中筛选出解决问题的方法。
四、应用“数形结合”，培养学生的良好情操
1． 树立现代思维意识
在数学教育中，通过数与形的有机结合，把形象思维与抽象思维有机地结合起来，尽可能地先形象后抽象，不但能促进这两种思维能力同步发展，还为学生初步形成辩证思维能力创造了条件。
在数学教学活动中，通过数与形的结合，能够有的放矢地帮助学生多角度、多层次地思考问题，可以养成多向性思维的好习惯。
在数学教学活动中，教师引导学生变静态思维方式为动态思维方式，也就是以运动、变化、联系的观点考虑问题，把数与形分别视为运动事物在某一瞬间的取值或某一瞬间的相对位置。运用动态思维方式处理教材、研究问题，能揭示前后知识的联系与变化，培养学生的辩证思维能力，更好地把握事物的本质。
2．树立辩证唯物主义世界观
客观世界是一个普遍联系的整体，每一事物都不是孤立的存在，它和其他事物以各种方式相互依赖着，相互制约着，相互作用着。我们从数学的发展即可揭示出：事物无不处于普遍联系之中。例如，解析几何是由代数和几何，数和形两方面的联系、变化、发展而来的。代数和几何，数和形是对立的，但又是相互联系的，可以互相转化的。当引入坐标后，它们就统一于解析几何中。这样，数学教师就能用鲜活的事例，引导学生用普遍联系的观点、物质统一性的观点、对立统一的观点来全面的认识客观事物的运动、变化、规律，从而对人生观、世界观正处于定型期的中职学生以良好的促进作用，帮助他们初步形成辩证唯物主义世界观。
五、数量之间的关系，解决大量实际问题
运用数形结合有时能使数量之间的内在联系变得比较直观，成为解决问题的有效方法之一。在分析问题的过程中，注意把数和形结合起来考察，根据问题的具体情形，把图形的问题转化为数量关系的问题，或者把数量关系的问题转化为图形的问题，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，化难为易。
在一年级下册刚接触比多比少应用题教学时，通过数与物（形）的对应关系，帮助学习建立起同样多、多的部分、少的部分、大的数、小的数等较抽象的数学概念，从而理解掌握比多比少用大的数减去小的数，求大的数用小的数加上多的部分（或少的部分），求小的数用大的数减去少的部分（或多的部分）。有的学生在刚学习比多比少应用题时，未能很好的建立起数与形的有机结合，未充分理解掌握比多比少的基本数量关系，而是机械地记忆“多”字用加法，“少”字用减法。这样的学生我们在教学中发现的还不在少数。
在二年级上册进行倍数应用题的学习时，教材首先是通过数与物（形）的结合，帮助学习初步建立起倍数的意义，即求一个数的几倍，就是求几个这样的数是多少。在学生初步建立起倍数的概念（意义）的基础上，逐步过渡到数与形结合，即画线段图，帮助学习理解掌握倍数的意义。在这里，教材从最初的最直观的数物（形）结合，逐步过渡到由图形代替物体——数形结合，初步建立起数学语言——数与形，使学生逐步从最直接的感知发展到较为抽象的数学知识，初步建立起今后数学学习的基本途径与方法，及数学思想——数形结合。不仅现在，在学生将来的数学学习中，随着知识难度的增大，用画线段图的方法来解答应用题，也是学生学习中方便操作且行之有效的方法。
比如鸡兔同笼问题，也是从图形中总结出解决方法。如：鸡和兔一共有8只，腿有22条。求鸡和兔各有多少只？
用算术方法解决鸡兔同笼问题，有的学生不能完全理解，而借助画图，一步一步总结方法和规律，帮助学生理解。先画8个圆，表示8只动物，假设全是鸡，给每个圆画2条腿。共画了16条腿。还有22-16=8（条）没有画上，再把剩下的腿添上，每个圆还可以添2条，8条腿可以添8÷2=4（只）。从画好的图中可以看出，这4只动物有4条腿，是兔。只有2条腿的有4只，是鸡。
再如植树问题，也是从图形中总结出解决方法。先模拟植树，得出线上植树的三种情况。
“___”代表一段路，用“ / ”代表一棵树，画“ / ”就表示种了一棵树。让学生在这段路上种上四棵树，想想、做做，你能有几种种法？
学生操作，独立完成后，在小组里交流说说你是怎么种的？
师反馈，实物投影学生摆的情况。师根据学生的反馈相应地把三种情况都贴于黑板：
① _________两端都种
② ____________ 或 ____________
一端栽种
③
_______________两端都不种
师生共同小结得出： 两端都种：棵数＝段数＋1；
一端栽种：棵数=段数； 两端都不种 ：棵数=段数—1。 本学期遇到了的几个题型，如锯木头、路边植树、上楼梯等问题，通过“形”的教学收到了明显的效果。许多孩子不会列算式，但是，会先画图，利用图形再列算式，
像这些题目都是利用线段图帮助学生学习。让学生有可以凭借的工具，借助数形结合将文字信息与学习基础耦合，使得学习得以继续，使得学生思维发展有了凭借，也使得数学学习的思想方法真正得以渗透。
数形结合，其实质是将抽象的数学语言与直观的图形联系起来，使抽象思维和形象思维结合起来，通过对图形的处理，发挥直观对抽象的支柱作用，揭示数和形之间的内在联系，实现抽象概念和具体形象、表象之间的转化，发展学生的思维。数形结合是学生建构知识的一个拐杖，有了这根拐杖，学生们才能走得更稳、更好。实践证明，抽象的数学概念和复杂的数量关系，借助图形使之形象化、直观化、简单化。
因此教师要从数学发展的全局着眼，从具体的教学过程着手，有目的、有计划地进行渗透数形结合思想的教学，使学生逐步形成数形结合思想，并使之成为学习数学、解决数学问题的工具，这是我们数学教学着力追求的目标。
参考文献：
1、《数学思想方法与小学数学教学》 夏俊生主编
河海大学出版社 1998年12月
2、《数学课程标准》（实验稿）北京师范大学出版社
2001年7月
3、《教学论》
田慧生 李如密著
河北教育出版社
1999年1月 暨阳街道大侣小学
葛琼钗
（责编 王文亮）
浅谈数形结合在数学教学中的运用 篇二
龙源期刊网 http://。cn
浅谈数形结合在数学教学中的运用
作者：朱军
来源：《中国科教创新导刊》2013年第04期
摘 要：数学是研究客观世界的空间形式和数量关系的科学，数与形是数学的两种表达形式，数是形的抽象概括，形又是数的直观表现。数形结合是把抽象的数学语言同直观的图形结合起来，通过“以形助数、以数解形”，使抽象思维和形象思维相结合，数形结合的过程也就是数学语言不断内化、不断形成、不断运用的过程。特别是运用到函数解题中，就能够使复杂的问题简单化，抽象的问题具体化，进而简化解题过程，从而达到事半功倍的效果。关键词：数形结合 抽象思维 函数 运用
中图分类号：G424 文献标识码：A 文章编号：1673-9795（2013）02（a）-0103-02
小学数学数形结合教学思想探析论文 篇三
摘要：小学是我国教育系统的重要组成部分，同时也是我国教育系统的基础，小学教育的质量将会影响到学生学习能力的培养，进而影响到学生以后的学习。数学是一门比较重要的学科。在小学阶段，大部分的学生都是刚开始正式接触数学学科，而数学知识的逻辑性又比较强，比较抽象，从而会使得一部分学生感觉到比较吃力。鉴于此，在小学数学教学过程中应结合小学生的生理特点和心理特点采用数形结合的教学思想，提高学生数学学习的效果。
关键词：小学；数学教学；数形结合数形结合思想是数学思想的一种，在教学过程中采用数形结合的教学思想不仅可以降低知识点的难度，同时还可以提高学生学习的兴趣。因此，应将数形结合的教学思想应用于小学数学教学中。本文将结合小学数学教学的实际情况，分析和研究数形结合思想在小学数学教学中应用的方法，并提出在小学数学教学中运用数形结合思想应注意的问题，希望可以为以后的小学数学教学工作提供一些借鉴。
1数形结合思想在小学数学教学中的具体应用
数形结合思想就是指在数学学习过程中，可以通过数和形之间的变换来解决一些数学问题，采用这样的方式可以大大降低数学问题的难度。下文将具体介绍一下数形结合思想应用的方法。首先，在小学数学教学过程中应采用数形结合的思想可以将一些抽象的概念直观化，从而使得学生可以更好地理解概念。概念是数学学习的重要内容之一，但在数学中有一些概念是比较抽象的，对于小学生来说理解这样的概念是存在一定难度的。以往，教师为了让学生理解这些概念往往会采用死记硬背的方式，按照教师的观点，先记住概念，随着使用次数的增多自然就会理解了。但是，对于学生而言，光记住概念却不理解概念是难以将其应用于解题过程中的。因此，在教学过程中，教师可以采用数形结合的思想，通过“数”、“形”变换将这些抽象的概念以较为直观的方式表达出来，这样学生才能更好地理解概念，并将其应用于解题过程中。其次，在小学数学教学过程中教师应采用数形结合的思想将一些隐性的数学规律以形象化的方式表达出来，从而培养学生找规律的能力。数学知识的逻辑性比较强，同时也存在很大的规律性。有一些数学规律已经被视为公式，出现在数学教材中。但有一些数学规律则因各种因素的影响没有出现在教材中，而这些隐性的规律是学生难以发现的，但对于理解数学知识和解题来说是比较有用的。
因此，教师应将这些隐性的数学规律告知学生。但在告知学生的过程中应掌握一定的方法技巧，培养学生独立寻找数学规律的能力。采用数形结合的思想，一方面可以更加清晰地展示数学规律，另一方面也更加容易让学生掌握这种寻找数学规律的方法。最后，在小学数学教学过程中教师应采用数形结合的思想来简化问题，从而降低问题的难度。在数学学习过程中，有很多数学问题都存在比较复杂的数量关系，对于处于小学阶段的学生来说他们难以理解这样复杂的数量关系，进而也就不知道该如何解题。在这种情况下，教师应教授学生利用数形结合思想解决问题的方法。采用数形结合思想一方面可以将一些复杂的问题简单化，另一方面也可以使得问题中的数量关系清晰化，更加有利于学生理解题目的含义。在小学数学教学中运用数形结合思想不仅可以提高学生数学学习的效果，同时还可以让学生养成用数形结合思想解决问题的习惯，从而使得学生的空间思维能力得到提升，这对学生以后的数学学习也会有很大的帮助。
2小学数学教学中运用数形结合思想应注意的问题
在小学数学教学中运用数形结合思想对于培养学生的数学思维能力具有重要的作用，但为了充分发挥数形结合教学思想的作用，在运用数形结合教学思想的过程中还应注意下述几方面的问题。首先，教师在小学数学教学的过程中不仅要采用数形结合思想，同时还应让学生养成用数形结合思想解决问题的习惯。准确地说，数形结合是一种数学思想，而不是教学思想。因此，为了提高学生的数学学习能力，在数学教学的过程中教师应有意识地培养学生运用数形结合思想解决数学问题的习惯，这样就会让学生养成一种思维习惯，遇到数学问题时就会想到这种解决问题的方法，这对学生以后的学习和生活都是具有积极作用的。其次，教师在运用数形结合教学思想的过程中应充分利用多媒体技术。正如上文所述，数形结合思想简单来说就是“数”、“形”变换的一种思想。利用多媒体技术可以更好地向学生展示“形”，还可以利用视频、动画、图片等多种方式来展示“数”“形”变换的具体过程，这样更加有助于学生理解数学知识。最后，在小学数学教学中运用数形结合的教学思想时应加强数学知识和现实生活之间的联系，最好用一些学生平时比较熟悉的事物来表现数形变换的过程，这样不仅可以加深学生对相关知识点的印象，同时还可以提高学生数学学习的兴趣。
3总结
总之，相比于传统的教学思想来说，数形结合的教学思想更加符合数学教学的实际情况。在小学数学教学的过程中采用数形结合的教学思想不仅可以将一些抽象的知识具象化，使得学生可以更好地理解数学知识，同时还可以提高学生的数学思维能力，使其更好地掌握数学知识。
参考文献
［1］袁婷．小学数学教学中数形结合思想的渗透研究［Ｊ］．学周刊，2015，06：60－61．
［2］曹红涛．数形结合思想在小学数学教学中的渗透研究［Ｊ］．中国校外教育，2015，28：129．
［3］张晓明．浅谈数形结合思想在小学数学中的应用［Ｊ］．学周刊，2014，33：208．
在数学教学中如何渗透数形结合思想 篇四
在数学教学中渗透数形结合思想
在数学教学中，教师如果能灵活地借助数形结合思想，会将数学问题化难为易，帮助学生理解数学问题。那么，如何在初中数学教学中挖掘数形结合思想并适时地加以应用呢？下面笔者根据日常的教学实践谈谈自己的见解。
一、从有理数开始就让中学生及早体会数形结合思想
在七年级开始，数轴的引入就大大丰富了有理数的内容，对学生认识有理数、相反数、绝对值以及有理数的运算都有很大的帮助，由于对每一个有理数，数轴上都有唯一确定的点与它对应，因此，两个有理数大小的比较，是通过这两个有理数在数轴上的对应点的位置关系进行的。相反数、绝对值概念则是通过相应的数轴上的点与原点的位置关系来刻划的。尽管我们学习的是有理数，但我们要求学生时刻牢记它的形：数轴上的点。通过渗透数形结合的思想方法，帮助学生正确理解有理数的性质及其运算法则。
例如:
1、比较两个数的大小方法：数轴上两个点表示的数，右边的数总比左边的大，正数大于零，负数小于0，正数大于负数；
2、比2℃低5℃的温度是_______；
3、若|a|=2，则a=______；
4、七年级《数学》(上)的习题，一辆货车从超市出发，向东走了3千米到达小彬家，继续走了1.5千米到达小颖家，然后向西走了9.5千米到达小明家，最后回到超市。在习题中也常出现这类题目。
这些内容如果适当应用数形结合的思想就很容易理解掌握了。
二、不等式(组)内容蕴藏着数形结合思想
在进行 “一元一次不等式和一元一次不等式组”，教学时，为了加深学生对不等式解集的理解，老师要适时地把不等式的解集在数轴上直观地表示出来，使学生形象地看到，不等式有无限多个解。这里蕴藏着数形结合的重要思想方法，在数轴上表示数是数形结合思想的具体体现，而在数轴上表示数集，则比在数轴上表示数又前进了一步。确定一元一次不等式组的解集时，利用数轴更为有效，如：在分析不等式组的解集情况时，如果老师利用数轴把数转化为“形”从而找出两个不等式的公共解，教学效果会事倍功半。如果老师能结合数轴，画图表示各个不等式的解集，就很容易写出不等式组几种类型的解集。
三、应用题的内容也隐含丰富的数形结合思想。
用示意图分析数学问题，就是运用数形结合思想的充分体现。小学教师在帮助学生分析解应用题，尤其有关行程问题、工程问题等方面的内容时，都不忘用示意图。而到了中学，学生的理解分析能力都有了很大的提高，应用题的内容更为丰富了，复杂了、难度更大了，并且其难点是如何根据题意寻找等量关系布列方程，要突破这一难点，老师在教学中必须充分运用数形结合思想，根据题意画出相应的示意图，才能帮助学生迅速找出等量关系列出方程，从而突破难点。数形结合的思想，是最基本的数学思想之一，应用范围较为广泛，因此我们数学老师在教学中要注重数形结合思想方法的渗透、概括和总结，要重视数学思想方法在解题中的应用，数与形是数学中相互依赖的两个方面，在教学中要挖掘数与形的联系，从而加深对所学知识的理解和掌握。
“数形结合”在小学低段数学教学中的应用 篇五
《“数形结合”在小学低段数学教学中的应用》
龙南县龙翔学校
曾智勇
一、有利于把抽象的数学概念直观化，帮助学生形成概念
学生在进入小学学习之前，他们的知识基本上是建立在现实生活中客观事物上的。其知识特点是直观形象，看得见，摸得着。而进入小学阶段，教师如果运用数形结合来引入新知、建构概念、解决问题，就相当于在原有的知识体系上添砖加瓦，新知识的学习就变得更简单。这样新学的知识就会具有较高的稳定性和牢固性，而我们也达到了所需的教学效果，也就是所谓深入浅出。
例如：二年级数学第一册中《乘法的引入》。
用相同的图像引导学生列出同数相加的算式，这样一方面利用数形结合思想直观、形象、生动的特点展现乘法的初始状态，懂得乘法的由来（知识的产生与发展）；另一方面借助学生已有的知识经验——看图列加法算式，加深了图、式的对应思想，无形中也降低了教学难度。
我在实际课堂教学中运用PPT幻灯片技术展现一个盆子里有三个苹果，然后依次出现这样的第二个盆子，第三个盆子，一直到第五个盆子，如何来表示这个场景呢？学生自然会用同数相加的方法来表示。接着，教师一边出示课件一边提出：“如果有20个盆子，30个盆子，甚至100个盆子，你们怎么办呢？”学生一片哗然：“哦~~！算式太长了，本子都写不下呢。”这时，建立乘法概念水到渠成！数形结合使学生不仅理解了乘法的意义，而且懂得了乘法是同数相加的简便运算。
从学生的思维活动过程来看：在这个片段中，学生经历了由具体到抽象的思维过程，也就是由直观的小船，抽象成连加算式，抽象成乘法算式，经历了由一般到特殊的思维过程。
二、使计算中的算式形象化，帮助学生在理解算理
小学数学内容中，有相当部分的内容是计算问题，计算教学要引导学生理解算理。但在教学中很多老师忽视了引导学生理解算理，尤其在课改之后，老师们注重了算法多样化，在计算方法的研究上下了很大功夫，却更加忽视了算理的理解。我们应该意识到，算理就是计算方法的道理，学生不明白道理又怎么能更好的掌握计算方法呢？在教学时，教师应以清晰的理论指导学生理解算理，在理解算理的基础上掌握计算方法，正所谓“知其然、知其所以然。” 根据教学内容的不同，引导学生理解算理的策略也是不同的，我认为数形结合是帮助学生理解算理的一种很好的方式。
如，在教学有余数的除法时，我就是利用7根小棒来完成的教学的。首先出示7根小棒，问能搭出几个三角形？要求学生用除法算式表示搭三角形的过程。像这样，把算式形象化，学生看到算式就联想到图形，看到图形能联想到算式，更加有效地理解算理。
三、应用“数形结合”，提高学生的能力
对大脑的科研成果表明，大脑的两半球具有不同的功能，左半脑功能偏重于抽象的逻辑思维，讲究规范严谨，稳定封闭，如数的运算、代数式的运算、逻辑推理、归纳演绎等。右半脑功能则偏听偏重于形象思维，讲究直觉想象，自由发散，如猜想、假设、构思开拓、奇异创造等。左、右半脑的功能各有特征，如果互相补充就会使大脑功能更加健全和发达。“数形结合”就同时运用了左、右半脑的功能，在培养形象思维能力时，也促进了逻辑思维能力的发展。
1．“数形结合”有助于对数学知识的记忆
“记忆是智慧的仓库”。人的知识、经验的积累、技能的形成、技巧的熟练、思维能力的培养、事业的成就等都离不开良好的记忆能力。 中等职业教育中的数学知识是基础性知识，需要牢固地记忆并掌握这些基础知识，在此基础上做到灵活应用，在整个教学过程中，这二者是相辅相成的。记忆正是掌握知识的基本手段，记忆的过程也就是知识积累的过程，同时有助于知识的深化，知识水平的提高更是要以记忆为前提。有的学生面对一些数学问题束手无策，找不到解题的思路与方法，这与脑子里记忆的数学知识太少有关。只有对数学的基础知识记忆牢固，才能做到温故而知新，应用时熟能生巧，才能进一步发展数学思维，提高数学能力。教学中运用形象记忆的特点，使抽象的数学尽可能地形象化，对学生输入的数学信息和映象就更加深刻，在学生的脑海中形成数学的模型，可以形象地帮助学生理解和记忆。
2．应用“数形结合”，训练学生数学直觉思维能力
在数学里，存在着大量的直觉思维。这就是人们在求解数学问题时，运用已有的知识，从整体上对数学对象及其结构迅速识别、判断，进而作出大胆的猜想，合理的假设，并作出试探性的结论。它具有顿悟、飞跃的特征。
3．应用“数形结合”，培养学生的发散思维能力
发散思维是从同一来源的材料或同一个问题，探求不同思路和方法的思维过程，其思维方向是从不同角度、不同方面看待同一个问题。在教学中常借助“一题多解”或“一题多变”的形式，突出已知与未知之间的矛盾联系，来引发学生提出新的思想、新的方法、新的问题，达到知识融会贯通，发展思维的广阔性和灵活性，激励学生的好奇心和求知欲，提高解决问题的应变能力。
四、应用“数形结合”，解决大量实际问题
运用数形结合有时能使数量之间的内在联系变得比较直观，成为解决问题的有效方法之一。在分析问题的过程中，注意把数和形结合起来考察，根据问题的具体情形，把图形的问题转化为数量关系的问题，或者把数量关系的问题转化为图形的问题，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，化难为易。
如植树问题，就是从图形中总结出解决方法。先模拟植树，得出线上植树的三种情况。
“___”代表一段路，用“ / ”代表一棵树，画“ / ”就表示种了一棵树。让学生在这段路上种上四棵树，想想、做做，你能有几种种法？ 学生操作，独立完成后，在小组里交流说说你是怎么种的？
师反馈，实物投影学生摆的情况。师根据学生的反馈相应地把三种情况都贴于黑板：
① _________两端都种
② ____________ 或 ____________ 一端栽种
③ _______________两端都不种
师生共同小结得出： 两端都种：棵数＝段数＋1； 一端栽种：棵数=段数；两端都不种 ：棵数=段数—1。本学期遇到了的几个题型，如锯木头、路边植树、上楼梯等问题，通过“形”的教学收到了明显的效果。许多孩子不会列算式，但是，会先画图，利用图形再列算式，像这些题目都是利用线段图帮助学生学习。让学生有可以凭借的工具，借助数形结合将文字信息与学习基础耦合，使得学习得以继续，使得学生思维发展有了凭借，也使得数学学习的思想方法真正得以渗透。
数形结合，其实质是将抽象的数学语言与直观的图形联系起来，使抽象思维和形象思维结合起来，通过对图形的处理，发挥直观对抽象的支柱作用，揭示数和形之间的内在联系，实现抽象概念和具体形象、表象之间的转化，发展学生的思维。数形结合是学生建构知识的一个拐杖，有了这根拐杖，学生们才能走得更稳、更好。实践证明，抽象的数学概念和复杂的数量关系，借助图形使之形象化、直观化、简单化。
因此教师要从数学发展的全局着眼，从具体的教学过程着手，有目的、有计划地进行渗透数形结合思想的教学，使学生逐步形成数形结合思想，并使之成为学习数学、解决数学问题的工具，这是我们数学教学着力追求的目标。
小学数学数形结合教学思想 篇六
小学数学数形结合教学思想
一、数形结合教学思想在小学数学教学中的运用
数形结合作为一种教学思想方法，一般包含两方面内容，一个方面是“以形助数”，另一个方面的内容是“以数解形”。下面介绍这两个方面的内容在小学数学教学中的运用。
（一）以形助数
所谓“以形助数”，是指老师在讲解某些数学知识的时候，仅靠数字讲解学生不太能理解，借助几何图形的特点，将所要讲的知识点更直观地展现在学生面前，从而将抽象化的问题转变为具体化的问题。学生在学习行程问题的应用题时，可以运用图形的办法清晰地展现问题。如：一辆汽车从甲地开往乙地，先是经过上坡路，然后是平地，最后是下坡路，汽车上坡速度是每小时20千米，在平地的速度是每小时30千米，而下坡的速度则是每小时40千米，汽车从甲地到乙地一共上坡花了6小时，平地花了2小时，下坡花了4小时。请问汽车从乙地到甲地需要多长时间？在这道题中，既存在变量，又存在不变量。变量就是上坡路和下坡路随着汽车行驶的方向而发生改变，当汽车从乙地到甲地行驶时，原先的上坡路变成了下坡路，原先的斜坡路变成了上坡路。而不变量就是这两个路程汽车行驶的速度都是始终不变的。那么在解决问题的时候，就可以直观地展现出来。先算出汽车从乙地到甲地的上坡时间，即（40×4）÷20=8（小时），然后算出下坡所花费的时间，即（20×6）÷40=3（小时），而平地所花费的时间是不变的，所以汽车从乙地到甲地所花费的时间是8+3+2=13（小时）。在这道题中，运用图像将数学中的数量关系、运算都直观地展现出来，学生比较易于理解，这样的教学可以在很大程度上提高教学效率。
（二）以数解形
虽然图形可以更加直观地展现数学中的数量关系，但是对于一些几何图形，特别是小学数学中的几何图形来讲，非常简单，如果仅仅是通过直接观察反而看不出规律，这时就可以运用“以数解形”的方式教学。比如老师在讲解“平行四边形的特征”一课时，很多学生通过学习，对概念性的东西已经非常了解，但是在具体的情况下又不能真正把握清楚，老师在教学过程中就可以通过对四边形进行赋值，让学生更深刻地理解和把握。比如给出三组数字：（1）6，5，3，7（2）7，5，5，7（3）8，6，4，6在这三组数字中，让学生选择平行四边形。那么学生理解了平行四边形的概念，即两组对边要平行且相等，通过比较分析，知道只有第二组数字符合平行四边形的概念。因此，在这样的教学中应该充分运用“数”与“形”的特点，帮助学生更快地掌握知识要点。
二、在小学数学教学中运用数形结合教学思想需要注意的问题
（一）注意培养学生运用数形结合方法的习惯
老师在小学数学中运用数形结合的方法进行教学，帮助学生更好地理解知识点，同时要注意培养学生运用数形结合方法解决数学题的习惯。小学生在平时的做题过程中，常常会忘了使用“数形结合”方法，有的还不会。因此，老师在平时的教学中，一定要培养学生养成运用数形结合方法的好习惯。针对不同的年龄段学生，采用不同的方法，比如低年级学生，引导学生在生活中找实物，高年级的学生则学会简单的画图等，让学生建立数形结合的思想。
（二）数形结合要注意利用多媒体技术 多媒体的发展已经迅速蔓延到教学领域，对于比较难懂的知识点，老师要借助多媒体技术实施教学。因为多媒体技术可以移动图像，当碰到需要运用想象思维的时候，可以在多媒体中进行展示。
三、结语
在小学数学中运用数形结合教学思想，可以有效提高课堂教学效率，帮助学生更快地理解知识点。教师应根据不同情况，综合运用“以形助数”和“以数解形”这两种不同方式，取得更好的教学效果。
作者：季利明 工作单位：赤峰市元宝山区元宝山镇马林小学
浅谈小学数学教学数形结合思想的运用 篇七
浅谈小学数学教学数形结合思想的运用
摘要：数形结合思想是新课程背景下重要的数学教学理念，受到了广泛的重视。在小学数学一线教学中，数形结合思想还有待数学教师进一步的学习与运用，促进小学生思维能力的发展，提升小学数学教学质量的提高。
关键字：小学数学； 数形结合思想 ； 运用
一、小学数学运用数形结合思想的作用
数学是小学教育阶段的基础学科，它是研究数量、形状之间关系的学科，由于小学生思维的发展以具体形象思维为主要特点，因此，通过将数字以具体的图形体现出来，可以帮助小学生深入理解数量之间的关系。然而，在当前小学数学教学之中，由于数学教师对数形结合运用的不够，尤其是对数形结合思想的认识不足，对该思想的理论体系学习不够充分，使得数形结合思想在当前小学数学教学中的实际应用存在？^多的问题。通过研究表明，运用数形结合教学可以大大提高小学生对数学的理解程度。
数形结合二者是相互促进、相互补充的，通过恰当的转换，可以将数形结合运用在教学中，促进小学生对数学知识的掌握。一是数形结合有利于小学生对数学知识的掌握。当前小学数学所使用的教材较为系统科学，然而，教材中所呈现的知识对于小学生来说学习较为困难。因此，数学教师在教学过程中必须用学生易于理解的方式，才能让小学生轻松的学习掌握知识。比如，学生对符号和图形较为感兴趣并且能够记忆深刻，如果将数学中的一些知识用图形来代替，将知识与图形相对应，能够帮助小学生更加深刻的理解。
二是数形结合可以帮助小学生提高解决数学问题的能力。数形结合，其实是对数与形之间进行了联系与转化，从而为学生的学习提供了新的思路。尤其是在学习较为复杂的数量关系时，数学教师完全可以借助图形，反之亦然，学习图形的过程中，可以用数字之间的关系来表征。
三是通过数形结合更加有利于小学生思维的发展。心理学研究表明，人的左大脑使用最多，并且擅长进行抽象与逻辑思维，因此数学学科的学习较多运用左大脑。右大脑较为擅长形象思维，比如图形与想象活动，如果能够在学习中结合左半脑与右半脑，对于学生思维的发展、大脑潜能的开发具有重要的作用。
二、当前小学数学数形结合运用存在的问题
虽然数形结合思想在小学数学教学中具有重要的价值与作用，然而在实际教学过程中，其运用还有很多问题。
第一，部分数学教师对数形结合思想认识不够。数形结合思想在小学数学教学中并未得到全面的普及，这是由于部分数学教师对数形结合思想的价值与意义没有全面的认识，很多数学教师对新的教学理念持怀疑与观望的态度，尤其是在数学教学中普遍采用题海战术对学生进行机械式的训练，而没有通过运用数形结合这种有效的方式让学生了解概念本质，提高学习的效率。
第二，数形结合思想在教学过程中运用的方式不当。一是体现在大多数数学教师在进行新课讲授的过程中选择运用数形结合思想，而只有少数教师则选择在复习课中运用数形结合思想。因此，数学教师对于数形结合教学方式的运用倾向不同，如果只在新课讲授中采用数形结合思想而复习课中忽视，则会造成学生很容易将数形结合的方式忘记。二是部分数学教师在采用数学结合过程中，只选择在讲授图形与几何领域的内容中使用，而在数字关系中使用较少。
第三，数学教师在运用数形结合思想中，忽视了对学生进行思想的渗透。主要体现在数学教师对学生课后作业的完成中是否使用数形结合策略缺乏要求，虽然采用传统的做题方式，能够提高做题的效率。然而通过数形结合方式，可以在做一些较难的题的过程中大大提高做题的正确率。数学老师并没有给予学生及时的要求与提醒，因此，数形结合的思想并未形成学生自己的认知结构。
三、小学数学运用数形结合的主要策略
首先，小学数学教师应该加强学习数形结合的思想，认识数形结合思想的价值所在，并且将其形成教学的理念渗透在教学之中。虽然小学阶段的数学知识较为简单，然而最简单的数学中也蕴含着深刻的道理，只有通过将数字与图形结合，从抽象到形象，才能提升小学生解决问题的能力，锻炼小学生的思维能力。小学数学教师的任务不仅是要教会学生知识，更要锻炼学生的思维能力。同时，数学教师自身要加强对数形结合教学思想的学习，通过不断的学习，积累教学经验，并且将其运用在教学之中。
其次，小学数学教师要在教学过程中对学生渗透数形结合的思想。数学教师需要在不同的课型中采用数形结合教学思想，这样才能够让学生认识到数形结合学习策略的重要性与价值。比如，在新知识教学中借助图形与符号来感知，如果数学教师在教学的过程中能够采用数形结合，则学生很容易模仿老师。再比如，在复习课中采用数形结合，主要是老师要通过数形结合对学生进行归纳与总结，让小学生养成运用数形结合进行理清自己知识结构的习惯。
最后，数学教师应该实现教学方式的多元化，让数形结合思想全面渗透在小学数学教学过程中。当前的小学数学教材对数学计算没有做更高的要求，而将教学的目标与重点放在了培养小学生数形结合的思想方面。因此，在每一章的教学过程中都可以用用数形结合思想，数学教师要善于挖掘数形结合思想并将其渗透在课堂中。与此同时，数学教师应该在教学的方式上实现情景创设的多样化，给予学生接触数形结合的机会，让学生通过体验数形结合来学习和巩固知识，内化为自己的一种能力。再者，还要在多元化的评价方式上实现数形结合的思想，只有在评价的时候重视对数形结合运用方式的鼓励，学生才会有更强的学习动机，才会更加重视对数形结合的运用。
参考文献：
[1]张雅芬。以“形”助“数”促发展――例谈数形结合思想在小学数学教学中的应用[J]。课程教育研究。 2015（32）
[2]范凌红。数形结合思想在小学数学教学中的实践研究[J]。课程教育研究。 2015（28）
[3]李凤云“数形结合”。在小学低段数学教学中的应用[J]。课程教育研究。 2015（24）
浅谈小学数形结合思想 篇八
浅谈小学数形结合思想方法
摘要：数形结合既是一种重要的数学思想，又是一种常用的数学方法，在小学数学教学与解决问题中广泛应用，本文介绍相关概念并结合人教版小学数学教材，初步整理了数形结合思想方法在各教学领域的渗透与应用，提出培养数形结合思想方法的策略。
关键词：小学数学；数形结合
1、数形结合思想方法的概念
数形结合思想就是通过数和形之间的对应关系和互相转化来解决问题的思想方法。1数形结合既是一种重要的数学思想，又是一种常用的数学方法，在小学数学教学与解决问题中广泛应用，包含“以形助数”和“以数解形”两个方面：前者借助形的直观性来阐明抽象的数之间的关系；后者是利用数的精确性、规范性与严密性来阐明形的某些属性。数形结合思想方法使数与形两种信息互相转换并且优势互补，从而能够将复杂的问题简单化，抽象的问题具体化。2
2、数形结合思想在各个学习领域的渗透与应用
小学数学分为“数与代数”、“图形与几何”、“统计与概率”、“综合与实践”这四个学习领域，数形结合思想在这四个领域中都得到了广泛的应用。我通过对教材的分析，初步整理了数形结合思想方法在各教学领域的渗透与应用。
2.1数形结合思想方法在“数与代数”知识领域中的渗透与应用 数是十分抽象的，教材在编排上充分利用了数形结合，帮助孩子理解数的含义。如，一年级上册1~5的认识这一课时：
教材的内容与目标体现以下两方面：（1）体会“形”的直观性。借助各种实物图作为直观工具，帮助学生理解数字的含义。（2）了解可以用数来描述几何图形。通过让学生用相应数量的小棒摆一摆图形的过程，引导学生数一数，增强用数的量化来描述形，让学生初步感受数中有形、形中有数的思想。
除此之外，在加减法的计算学习中，利用画图来直观呈现各种信息，帮助学生分析数量关系；在乘法口诀的学习中，利用各种图形（点子图、数轴、表格）帮助学生理解乘法的意义和口诀的推导；在分数的学习中，为了让学生能够理解分数的含义，教材运用了大量的图形作为直观手段；在小数的学习中，利用尺子、线段、正方形等直观手段帮助学生理解小数的意义与性质；在方程的学习中，利用天平图作为直观手段，理解等式的性质，利用画线段图帮助学生理解数量关系……可以说，数形结合思想在“数与代数”的学习中无处不在，应用十分广泛。
2.2数形结合思想方法在“图形与几何”知识领域中的渗透与应用
12 王永春。小学数学与数学思想方法[M]。上海:华东师范大学出版社，2014:65. 毕保洪，贺家兰。数形结合思想的应用[J]。中学教与学，2017,1:15-16. 在探索图形的性质、特点等过程中，也需要数形结合思想方法的帮助。如：四年级下册第五单元三角形的内角和这一课时：
通过操作把一个三角形的三个内角拼成了一个平角，让学生直观体验三角形的内角和时180°，通过动手操作，体验知识的生成过程，提高了学生的学习兴趣与学习效率。在知道三角形的内角和的基础上再探索四边形的内角和，让学生体会从数量的角度研究图形的性质。
除此之外，在角、长方形、正方形等平面图形的认识中，通过直观的图形，让学生发现图形的特点与性质；在长方形和正方形面积的学生中，用数量表示长方形、正方形的大小，感受“以数解形”方法的实用性；在圆柱和圆锥的学习中，通过探索圆柱的表面积、体积，圆锥的体积等方面的知识，体会从量化的角度研究圆柱和圆锥，更好地认识它们的性质……在“图形与几何”的学习中，不仅让学生通过直观了解图形，也使学生体会以数解形的作用。
2.3数形结合思想方法在“统计与概率”知识领域中的渗透与应用 统计图就是一种把数据通过直观图形的形式体现的一种方法，是数形结合思想的体现。在二年级下册，教材便设计了用简单的条形图来表示数据，让学生初步感受图形也可以表示统计数据。四年级上册第七单元条形统计图：
描述生活中的各种数据，既可以用统计表，也可以用条形统计图，在直角坐标系里画长方形来表示数据，具有直观、易比较数据之间的大小等特点，让学生体会以形助数方法的直观性。
除此之外，在集合的学习中，通过文氏图帮助学生理解相关的统计概念和计算原理；在折线统计图的学习中，让学生理解统计图是数形结合思想的体现；在扇形统计图的学习中，体会把圆作为单位“1”，然后用圆中的一些扇形表示各部分的数量与总量之间的百分比……
2.4数形结合思想方法在“综合与实践”知识领域中的渗透与应用
数形结合思想在“综合与实践”学习领域也有广泛应用。如五年级下册打电话：
直接去解决这个问题十分抽象，对学生来说难度太大，可以引导学生运用树状图作为直观手段，帮助学生归纳出最优方法。
除此之外，在学习和解决排列组合问题时，结合操作卡片、列表、树状图、线段图等手段，感受数形结合的方法；在解决优化问题和植树问题的过程中，都利用了画图的方法来帮助理解，解决数学问题；在六年级上册的教材中，运用数形结合的方法让学生理解完全平方公式。
3、数学结合思想方法的培养
3.1引导学生体会数形结合思想方法的作用
数形结合思想方法能够把看上去困难的题目简单化、明朗化，能够帮助学生理解抽象的数学问题，因此，在教学过程中，教师要有意识地渗透数形结合思想方法，利用数形之间的关系，帮助学生通过几何直观理解抽象概括，树立起学生数形结合的数学思想，培养主动运用数形结合思想方法去解决问题的意识，提高学生的数学素养与能力。
3.2培养学生画图识图的能力
运用数形结合思想方法解决问题的基本要求是通过题意画出符合的图像，利用图像来探讨数量关系。在实际教学过程中，出现了两方面的困难。一方面，多数的学生在把题目转化成图像的过程中遇到了困难，画不出符合题意的图或者画错了图导致不会解题、解错题；另一方面，对于画出的图像，学生不能看懂其含义，不能利用图去解决问题。教师必须认识到这个问题，在教学过程中重视画图和看图过程，引导学生理解，培养学生画图、看图的能力。
3.3培养学生运用数形结合思想方法的习惯 在小学中，学生在解决问题的过程中，并不会选择数形结合的方法，一方面是教师意识薄弱，不重视这样的解题方法；另一方面，学生嫌麻烦，不喜欢画图。在这样的情况下，教师应引导学生认识到数形结合思想方法的作用，坚持培养和训练，使学生形成利用数形结合思想方法的习惯，从而提高学生思维能力、分析能力和解决问题的能力。
3.4适当拓展数形结合思想的应用
在小学数学的教学中，通常采用“以形助数”，而“以数解形”在中学中的应用较多，在小学中比较常见的就是计算图形的周长、面积和体积等内容。在此基础内容上，还可以创新求变，深入挖掘“图形与几何”学习领域的素材，在学生已有的知识基础上适当拓展，丰富小学数学的数形结合思想。
4、结语
著名的数学家华罗庚说过：“数缺形时少直觉，形少数时难入微。”这句话深
3刻地揭示了数形结合的重要性。小学生的逻辑思维能力较弱，但在学习数学时必须面对数学的抽象性这一现实问题，因此，数形结合思想在小学数学中有重大意义。不管是教材的编排还是课堂的教学，我们都应使抽象的数学问题转化成学生易于理解的方式呈现，借助数形结合思想中的图形直观手段，使学生通过直观理解抽象的数学，培养学生数形结合思维，提高学生用数形结合方法解决问题的能力，使数学的学习充满乐趣。
参考文献：
[1]毕保洪，贺家兰。数形结合思想的应用[J]。中学教与学，2017,1:15-16. [2]梁秀娟。蒋建华。浅议小学数学教学中数形结合思想的渗透与应用[J] 。数学学习与研究:教研版，2013（22）:119-119 。 [3]王永春。小学数学与数学思想方法[M]。上海:华东师范大学出版社，2014:65.
3 梁秀娟。蒋建华。浅议小学数学教学中数形结合思想的渗透与应用[J] 。数学学习与研究:教研版，2013（22）:119-119 。
高考数学专题复习：数形结合思想 篇九
高考冲刺：数形结合
编稿：林景飞
审稿：张扬
责编：辛文升 热点分析 高考动向
数形结合应用广泛，不仅在解答选择题、填空题中显示出它的优越性，而且在解决一些抽象数学问题中常起到事半功倍的效果。高考中利用数形结合的思想在解决选、填题中十分方便，而在解答题中书写应以代数推理论证为主，几何方法可作为思考的方法。数形结合的重点是研究“以形助数”，但“以数解形”在近年高考试题中也得到了加强，其发展趋势不容忽视。历年的高考都有关于数形结合思想方法的考查，且占比例较大。
知识升华
数形结合是通过“以形助数”（将所研究的代数问题转化为研究其对应的几何图形）或“以数助形”（借助数的精确性来阐明形的某种属性），把抽象的数学语言与直观的图形结合起来思考，也就是将抽象思维与形象思维有机地结合起来，是解决问题的一种数学思想方法。它能使抽象问题具体化，复杂问题简单化，在数学解题中具有极为独特的策略指导与调节作用。
具体地说，数形结合的基本思路是：根据数的结构特征，构造出与之相应的几何图形，并利用图形的特性和规律，解决数的问题；或将图形信息全部转化成代数信息，使解决形的问题转化为数量关系的讨论。
选择题，填空题等客观性题型，由于不要求解答过程，就某些题目而言，这给学生创造了灵活运用数形结合思想，寻找快速思路的空间。但在解答题中，运用数形结合思想时，要注意辅之以严格的逻辑推理，“形”上的直观是不够严密的。 1．高考试题对数形结合的考查主要涉及的几个方面：
（1）集合问题中Venn图（韦恩图）的运用；
（2）数轴及直角坐标系的广泛应用；
（3）函数图象的应用；
（4）数学概念及数学表达式几何意义的应用；
（5）解析几何、立体几何中的数形结合。
2．运用数形结合思想分析解决问题时，要遵循三个原则：
（1）等价性原则。要注意由于图象不能精确刻画数量关系所带来的负面效应；
（2）双方性原则。既要进行几何直观分析，又要进行相应的代数抽象探求，仅对代数问题进行几何分
析容易出错；
（3）简单性原则。不要为了“数形结合”而数形结合，具体运用时，一要考虑是否可行和是否有利；
二要选择好突破口，恰当设参、用参、建立关系，做好转化；三要挖掘隐含条件，准确界定参变
量的取值范围，特别是运用函数图象时应设法选择动直线与定二次曲线为佳。
3．进行数形结合的信息转换，主要有三个途径：
（1）建立坐标系，引入参变数，化静为动，以动求解，如解析几何；
（2）构造成转化为熟悉的函数模型，利用函数图象求解；
（3）构造成转化为熟悉的几何模型，利用图形特征求解。 4．常见的“以形助数”的方法有：
（1）借助于数轴、文氏图，树状图，单位圆；
（2）借助于函数图象、区域（如线性规划）、向量本身的几何背景；
（3）借助于方程的曲线，由方程代数式，联想其几何背景，并用几何知识解决问题，如点，直线，斜
率，距离，圆及其他曲线，直线和曲线的位置关系等，对解决代数问题都有重要作用，应充分予
以重视。
5．常见的把数作为手段的数形结合：
主要体现在解析几何中，历年高考的解答题都有这方面的考查。
经典例题透析
类型一：利用数形结合思想解决函数问题 1．（2010全国Ⅰ·理）已知函数a+2b的取值范围是
A．
解析：画出
由题设有，
B．的示意图。 ， ，若，且，则
C．
D．
∴ ，
令 ，
则
∵
∴ ， ∴ 在，
。 上是增函数。
∴
举一反三：
【变式1】已知函数
。选C.
在0≤x≤1时有最大值2，求a的值。
解析：∵
∴抛物线， 的开口向下，对称轴是，如图所示：
（1）
（2）
（3）
（1）当a＜0时，如图（1）所示， 当x=0时，y有最大值，即
∴1―a=2。即a=―1，适合a＜0。
（2）当0≤a≤1时，如图（2）所示， 当x=a时，y有最大值，即
。 。
∴a―a+1=2，解得
2。
∵0≤a≤1，∴不合题意。
（3）当a＞1时，如图（3）所示。
当x=1时，y有最大值，即
综合（1）（2）（3）可知，a的值是―1或2
【变式2】已知函数
（Ⅰ）写出
（Ⅱ）设的单调区间； ，求
在[0，a]上的最大值。
。
。∴a=2。
解析：
如图：
（1）的单调增区间：
，；单调减区间：（1，2）
时，，。
（2）当a≤1时，当
当
【变式3】已知
()
（1）若，在上的最大值为，最小值为，求证：；
（2）当]时，都
，时，对于给定的负数，有一个最大的正数，使得x∈[0,
有|f(x)|≤5，问a为何值时，M(a)最大？并求出这个最大值。
解析：
（1）若a=0，则c=0，∴f(x)=2bx
当-2≤x≤2时，f(x)的最大值与最小值一定互为相反数，与题意不符合，∴a≠0；
若a≠0，假设，
∴区间[-2,2]在对称轴的左外侧或右外侧，
∴f(x)在[-2，2]上是单调函数，
（这是不可能的）
（2）当，时，，
∵，所以，
（图1）
（图2）
（1）当
所以
即是方程，时（如图1），则的较小根，即
（2）当
所以
即是方程，时（如图2），则的较大根，即
（当且仅当
时，等号成立），
由于，
因此当且仅当时，取最大值
类型二：利用数形结合思想解决方程中的参数问题 2．若关于x的方程有两个不同的实数根，求实数m的取值范围。
思路点拨：将方程的左右两边分别看作两个函数，画出函数的图象，借助图象间的关系后求解，可简化运算。
解析：画出
和的图象，
当直线过点，即时，两图象有两个交点。
又由当曲线
与曲线
相切时，二者只有一个交点，
设切点
又直线，则过切点，即，得， ，解得切点，
∴当时，两函数图象有两个交点，即方程有两个不等实根。
误区警示：作图时，图形的相对位置关系不准确，易造成结果错误。
总结升华：
1．解决这类问题时要准确画出函数图象，注意函数的定义域。
2．用图象法讨论方程（特别是含参数的方程）解的个数是一种行之有效的方法，值得注意的是首先把
方程两边的代数式看作是两个函数的表达式（有时可能先作适当调整，以便于作图），然后作出两
个函数的图象，由图求解。
3．在运用数形结合思想分析问题和解决问题时，需做到以下四点：
①要准确理解一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征；
②要恰当设参，合理用参，建立关系，做好转化；
③要正确确定参数的取值范围，以防重复和遗漏；
④精心联想“数”与“形”，使一些较难解决的代数问题几何化，几何问题代数化，便于问题求解。
举一反三：
【变式1】若关于x的方程在（－1，1）内有1个实根，则k的取值范围是 。
解析：把方程左、右两侧看作两个函数，利用函数图象公共点的个数来确定方程根的个数。
设（x∈－1，1）
如图：当内有1个实根。
或时，关于x的方程在（－1，1）
【变式2】若0＜θ＜2π，且方程取值范围及这两个实根的和。
有两个不同的实数根，求实数m的解析：将原方程
与直线
转化为三角函数的图象
有两个不同的交点时，求a的范围及α+β的值。
设，，在同一坐标中作出这两个函数的图象
由图可知，当
或
时，y1与y2的图象有两个不同交点，
即对应方程有两个不同的实数根，
若，设原方程的一个根为，则另一个根为。
∴。
若，设原方程的一个根为，则另一个根为，
∴。
所以这两个实根的和为或。
且由对称性可知，这两个实根的和为或。
类型三：依据式子的结构，赋予式子恰当的几何意义，数形结合解答
3．（北京2010·理）如图放置的边长为1的正方形PABC沿x轴滚动，设顶点，则函数的最小正周期为________；
在其两个相邻的轨迹方程是零点间的图象与x轴所围成的区域的面积为________.
解析：为便于观察，不妨先将正方形PABC向负方向滚动，使P点落在x轴上的点，此点即是函数的一个零点（图1）。
（一）以A为中心，将正方形沿x轴正方向滚动90°，此时顶点B位于x轴上，
顶点P画出了A为圆心，1为半径的个圆周（图2）；
（二）继续以B为中心，将正方形沿x轴正方向滚动90°，此时顶点C位于x轴上，
顶点P画出B为圆心，为半径的个圆周（图3）；
（三）继续以C为中心，将正方形沿x轴正方向滚动90°，此时，顶点P位于x轴上，为点，
它画出了C为圆心，1为半径的个圆周（图4）。为又一个零点。
∴ 函数的周期为4.
相邻两个零点间的图形与x轴围成的图形由两个半径为1的圆、
半径为的圆和两个直角边长为1的直角三角形，其面积是
。
举一反三：
2
2【变式1】已知圆C：(x+2)+y=1，P（x，y）为圆C上任一点。
（1）求的最大、最小值；
（2）求的最大、最小值；
（3）求x―2y的最大、最小值。
解析：联想所求代数式的几何意义，再画出草图，结合图象求解。
（1）
表示点（x，y）与原点的距离，
由题意知P（x，y）在圆C上，又C（―2，0），半径r=1。
∴|OC|=2。的最大值为2+r=2+1=3， 的最小值为2―r=2―1=1。
（2）表示点（x，y）与定点（1，2）两点连线的斜率，
设Q（1，2），，过Q点作圆C的两条切线，如图：
将整理得kx―y+2―k=0。
∴，解得，
所以的最大值为，最小值为。
（3）令x―2y=u，则可视为一组平行线系，
当直线与圆C有公共点时，可求得u的范围，
最值必在直线与圆C相切时取得。这时
∴
。 ，最小值为
。 ，
∴x―2y的最大值为
【变式2】求函数
解析：的最小值。
则y看作点P（x，0）到点A（1，1）与B（3，2）距离之和
如图，点A（1，1）关于x轴的对称点A＇（1，－1），则 即为P到A，B距离之和的最小值，∴
【变式3】若方程x+(1+a)x+1+a+b=0的两根分别为椭圆、双曲线的离心率，则值范围是（ ）
2的取
A．
B．或
C．
D．或
解析：如图
由题知方程的根，一个在（0，1）之间，一个在（1，2）之间，
则 ，即
下面利用线性规划的知识，则斜率
可看作可行域内的点与原点O（0，0）连线的 则 ，选C。
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