微积分论文 篇一
马克思(1818—1883)的伟大贡献，正像恩格斯在马克思墓前演讲中所说：达尔文发现了有机界的发展规律，马克思发现了人类历史的发展规律，揭示了经济基础和上层建筑的相互关系；在对资本主义生产方式的深入研究中，他发现了“剩余价值”，从而获得了开启社会奥秘的钥匙。[1](P574—575)马克思的《资本论》至今还在许多国家重印发行，显示出马克思主义的强大生命力。在西方著名大学中普遍设有马克思主义课程。
在20世纪与21世纪之交，在告别人类纪元第二个千年，迎接第三个千年到来之际，1999年，英国剑桥大学文理学院的教授们发起了一个评选“千年第一伟人”活动，征询、推选和投票的结果是：马克思第一，爱因斯坦第二。随后，英国广播公司(BBC)在国际互联网上进行全球投票评选第二个千年的前10名思想家，其结果为：马克思第一，爱因斯坦第二。接着，路透社又邀请各界名人再行评选时，爱因斯坦以一票之多领先于甘地和马克思。依据这一系列的评选结果，人们公认马克思和爱因斯坦(1879—1955)应并列为千年第一伟人。
凡读过马克思的著作，特别是《资本论》的人，都为马克思的学术研究方法及其学术成就而折服。他对所研究的问题，不但拥有丰富的实际资料，而且占有大量的文献资料，在理论论述中，不但处处闪耀着深刻的思想火花，尤其渗透着那种一步一步深入进去的强有力的逻辑力量。北京大学的江泽涵教授是我国著名的前辈数学家，我国拓扑学这门学科的奠基人，也是马克思《数学手稿》的最主要译者，他读了《资本论》第一卷以后，深有感慨地说：“马克思研究资本主义的方法同我们研究数学的方法是一样的，《资本论》的论证方法同我们的数学论证方法一样，都是严密地从逻辑上一步步推理和展开，真是无懈可击，令人信服。”《资本论》作为研究早期资本主义社会的经典著作，展显为一个逻辑严密的理论体系，正因为其研究方法之缜密而至今仍然得到全世界学者们的高度赞赏。
马克思数学手稿的具体内容
恩格斯称马克思为“科学巨匠”。他说，马克思研究的科学领域是很多的，而且对任何一个领域都不是肤浅地研究的，甚至在数学领域也有独到的发现。[1](P574—575)
马克思一生酷爱数学，从19世纪40年代起，直到逝世前不久，数十年如一日地利用闲暇时间学习和钻研数学，给我们留下了近千页数学手稿，其中有读书摘要、心得笔记和述评，以及一些研究论文的草稿。20世纪30年代以后，马克思的数学手稿和其他手稿一起，一直保存在荷兰首都阿姆斯特丹的国际社会史研究所的档案馆中。
数学研究紧密结合经济学研究
起初，马克思在与恩格斯和其他人的通信中讨论初等数学问题居多。例如，他在1864年的一封信中有关于数字计算的议论：“可以看出：不太大的计算，例如在家庭开支和商业中，从来不用数字而只用石子和其他类似的标记在算盘上进行。在这种算盘上定出几条平行线，同样几个石子或其他显著的标记在第一行表示几个，在第二行表示几十，在第三行表示几百，在第四行表示几千，余类推。这种算盘几乎整个中世纪都曾使用，直到今天中国人还在使用。至于更大一些的数学计算，则在有这种需要之前古罗马人就已有乘法表或毕达哥拉斯表，诚然，这种表还很不方便，还很繁琐。因为这种表一部分是用特殊符号，一部分是用希腊字母(后用罗马字母)编制成的。……在作很大的计算时，旧方法造成不可克服的障碍，这一点从杰出的数学家阿基米得所变的戏法中就可以看出来。”[2](P650)
1864年5月30日，恩格斯在给马克思的信中写道：“看了你那本弗朗克尔的书，我钻到算术中去了；……以初等方式来陈述诸如根、幂、级数、对数之类的东西是否方便。不管怎样好地利用数字例题来说明，我总觉得这里只限于用数字，不如用a+b作简单的代数说明来得清楚，这是因为用一般的代数式子更为简单明了，而且这里不用一般的代数式子也是不行的。”[3](P357)马克思关于数学的笔记和他研究政治经济学的材料有紧密的联系。在1846年的一个经济学笔记本中，最后几页全是各种代数运算；在以后的许多笔记本中也都记有数学公式和图形，还有整页整页的算草；在为撰写《政治经济学批判大纲》准备材料的笔记本中他画了一些几何图形，记录了关于分数指数和对数的公式。1858年1月11日马克思在致恩格斯的信中说：“在制定政治经济学原理时，计算的错误大大地阻碍了我，失望之余，只好重新坐下来把代数迅速地温习一遍。算术我一向很差，不过间接地用代数方法，我很快又会计算正确的。”[4](P247)马克思曾为自己能把高等数学的某些公式用于经济学的研究而深感高兴。1868年1月8日马克思写信给恩格斯谈到工资问题的研究时，他说：“工资第一次被描写为隐藏在它后面的一种关系的不合理的表现形式，这一点通过工资的两种形式即计时工资和计件工资得到了确切的说明(在高等数学中常常可以找到这样的公式，这对我很有帮助)。”[5](P12)
看来，马克思的数学兴趣与他希望把数学运用于经济学研究有关。在1873年5月31日给恩格斯的信中谈到经济危机的研究时，他说：“为了分析危机，我不止一次地想计算出这些作为不规则曲线的升和降，并曾想用数学公式从中得出危机的主要规律(而且现在我还认为，如有足够的经过检验的材料，这是可能的)。”[6](P87)在《资本论》中我们也能看到数学的运用，据拉法格回忆，马克思曾经强调说：一门科学只有当它达到了能够成功地运用数学时，才算真正发展了。[7](P8)我理解，马克思这里所说的运用数学，不仅仅是运用数学的计算方法，而且也要运用数学的思维方法和论证方法。
对微积分的学习、思索和历史考察
19世纪60年代以后，马克思陆续阅读了一大批微积分方面的书籍，其中有布沙拉(J•L•Boucharlat)、辛德(J•Hind)、拉库阿(S•F•Lacroix)、霍尔(G•Hall)等人各自编写的微积分教科书，还有牛顿有关的数学原著等等，写下了详细的读书笔记。马克思对这些教科书进行比较，开始了自己对于微分学中一些问题的独立的思考。于1881年前后，马克思撰写了关于微分学的历史发展进程、论导函数概念、论微分以及关于泰勒定理等问题的研究草稿，而且对于这些问题都曾写过多遍草稿，例如，关于泰勒定理留下了八份草稿。
马克思把微分学看作科学上的一种新发现、新事物，考察它是怎样产生的，产生以后遇到一些什么困难，经历了怎样的曲折发展。马克思对微积分有过一段生动的而又富有哲理的描述：“人们自己相信了新发现的算法的神秘性。这种算法通过肯定是不正确的数学途径得出了正确的(尤其在几何应用上是惊人的)结果。人们就这样把自己神秘化了，对这新发现评价更高了，使一群旧式正统派数学家更加恼怒，并且激起了敌对的叫嚣，这种叫嚣甚至在数学界以外产生了反响，而为新事物开拓道路，这是必然的。”[8](P88)
马克思把从牛顿(1642—1727)、莱布尼茨(1646—1716)创建微分学到拉格朗日(J.L.Lagrange1736—1813)的发展，约一百多年的发展过程分为三个阶段，分别称为：“神秘的微分学”、“理性的微分学”、“纯代数的微分学”。在牛顿和莱布尼茨时期，新生的微积分很快在应用上获得了惊人的成功，但是从旧的传统数学看来，这种新算法，比如微分过程，正是通过不正确的数学途径得到正确的结果的。在同一个公式的推导过程中Δx和dx既作为有限的量，却又消失为零，在逻辑上显示出矛盾；时为什么能有确定的值，等等，都不能从理论上给出合理的解释。人们认为微分学是神秘的。牛顿和莱布尼茨，以及后继者们都希望给微分学找到合乎逻辑的说明，他们为此付出了很大的努力。以达朗贝尔(J•L•R•D’Alembert，1717-1783)为代表的“理性的微分学”和以拉格朗日为代表的“纯代数的微分学”，都是这种努力的一定阶段的成果。马克思指出：“这里，像在别处一样，给科学撕下神秘的面纱是重要的。”[8](P139)转马克思力图运用辩证法观点去分析微分学的困难。他认为“理解微分运算时的全部困难”，“正像理解否定之否定本身”一样，要把“否定”理解为发展的环节，并且要从量和质的统一看待量的变化。在微分过程中，在量的否定，比如量的消失中，看到其间仍保存着特定的质的关系，即y对x的函数关系所制约的质的关系。因此，当增量Δx变为零，Δy也变为零，时能具有特定的值，即导函数。马克思说，要把握的真正含义，“唯一的困难是在逐渐消失的量之间确定一个比的这种辩证的见解。”[9](P16)
马克思以比较简单的多项式函数的微分过程为例，参照比较了多种教科书，运用上述观点，选择了一种具体的推导步骤以说明这种函数的微分过程的合理性，从而说明微分学的神秘性是可以摆脱的。这样的内容，现在看来固然是很浅显的，也不足以说明一般函数的微分过程。但这也是马克思为撕下微分学的神秘面纱所做的一份历史性的努力。
马克思曾劝说恩格斯研究微积分。他在1863年7月6日给恩格斯的信中说：“有空时我研究微积分。顺便说说，我有许多关于这方面的书籍，如果你愿意研究，我准备寄给你一本。我认为这对于你的军事研究几乎是必不可缺的。况且，这个数学部门(仅就技术方面而言)，例如同高等代数比起来，要容易得多。除了普通代数和三角以外，并不需要先具备什么知识，但是必须对圆锥曲线有一个一般的了解。”[2](P357)
马克思对高等数学的兴趣和钻研影响和带动了恩格斯，1865年以后，他们在通信中讨论得更多的则是微积分方面的问题了。马克思在一封给恩格斯的信的附件中说：“全部微分学本来就是求任意一条曲线上的任何一点的切线。我就想用这个例子来给你说明问题的实质。”马克思是用求抛物线y[2]=ax上某一点m的切线的例子，认真画了图，向恩格斯作详细讲解的。[3](P168—169)
1881年马克思把一份“论导数概念”的手稿和一份“论微分”手稿誊抄清楚，先后寄给了恩格斯。恩格斯认真阅读了这些手稿，于1881年8月18日给马克思写了一封很长的讨论导函数的回信，信中说：“这件事引起我极大的兴趣，以致我不仅考虑了一整天，而且做梦也在考虑它：昨天晚上我梦见我把自己的领扣交给一个青年人去求微分，而他拿着领扣溜掉了。”[10](P21—23)
在马克思的影响下，恩格斯对微积分也越来越有兴趣了，他在《反杜林论》、《自然辩证法》等哲学著作中，不但大段大段地谈论微积分，精辟地分析高等数学与初等数学的区别，而且还有对于微积分的高得不能再高的赞誉：“在一切理论成就中，未必再有什么像十七世纪下半叶微积分的发明那样看作人类精神的最高胜利了。如果在某个地方我们看到人类精神的纯粹的和唯一的功绩，那就正在这里。”[11](P611)
从数学中学习辩证法
马克思和恩格斯都非常明确地认为，数学是建立辩证唯物主义哲学的一个重要基础。恩格斯指出：“要确立辩证的同时又是唯物主义的自然观，需要具备数学和自然科学的知识。”[12](第三版序言)
在旧哲学中，黑格尔是论述数学比较多的。恩格斯曾经指出：“黑格尔的数学知识极为丰富，甚至他的任何一个学生都没有能力把他遗留下来的大量数学手稿整理出版。据我所知，对数学和哲学了解到足以胜任这一工作的唯一的人，就是马克思。”[3](P471)马克思忙于自己的研究和革命活动，并没有承担这一工作。不过，他在数学手稿中把微分学的发展同德国唯心主义哲学的发展联系起来，作了有趣的对比。当他探讨牛顿、莱布尼茨与他们的后继者的关系时，他说：“正像这样，费希特继承康德，谢林继承费希特，黑格尔继承谢林，无论费希特、谢林、黑格尔都没有研究过康德的一般基础，即唯心主义本身；否则他们就不能进一步发展康德的唯心主义。”[8](P88)转马克思把研究数学作为丰富唯物辩证法的一个源泉。他通过自己对数学的多年钻研，深有体会地认为，在高等数学中，他找到了最符合逻辑的同时又是形式最简单的辩证运动。在马克思的数学手稿中能够看到这方面的记述。
数学手稿的出版、翻译和人们的看法
马克思曾经打算把自己对数学的一些研究成果写成正式论文，但他反复改写了多遍草稿，却没有来得及写完。他生前曾嘱咐小女儿爱琳娜：“要她和恩格斯一起处理他的全部文稿，并关心出版那些应该出版的东西，特别是第二卷(按：指《资本论》第二卷)和一些数学著作。”[13](P42)马克思逝世以后，恩格斯也曾希望把自己在自然辩证法方面的研究成果同马克思遗留下来的数学手稿一齐发表。[11](第三版序言)但是由于他肩负着整理出版马克思的最重要的著作——《资本论》第二卷、第三卷的重任，上述愿望没有能够实现。
马克思关于微分学的几篇论文草稿和一些札记于1933年译成俄文与读者见面，即在纪念马克思逝世五十周年的时候才第一次发表在苏联的理论刊物《在马克思主义旗帜下》，随后收入文集《马克思主义与自然科学》。1968年在前苏联出版了马克思数学手稿的比较完全的德俄对照本[14]，书中对各个时期的手稿写了较详细的记述。此外，对马克思的数学手稿，还陆续出版过内容和编排不一的德文本、日文本、意大利文本等等。在国际学术界引起了学者们的重视和兴趣。如日本的玉木美彦、今野武雄早就撰文介绍过马克思数学手稿的内容。1977年在西德召开的国际数学史会议上，美国学者肯尼迪(H•C•Kennedy)作了题为《马克思与微积分基础》的学术报告。美国著名数学史家斯特洛依克(D•J•Struik)1978年在《数学评论》杂志上写文章介绍了这篇报告。前几年，还有美国科学史方面的研究生在研究马克思数学手稿的传播和影响。
在我国，早从1949年起，许默夫就发表过关于马克思数学手稿的文章(注：许默夫的有关马克思数学手稿的几篇文章，先后发表在《东北日报》(1949年5月5日)、《自然科学》(1951年第1卷)、《数学通报》(1958年第12期)、《新科学》(1955年第2期)等报刊上。)，后来有些学者从日文本或俄文本将部分内容翻译过来。1973年1月北京大学成立了马克思数学手稿编译组，依据苏联1968年出版的德俄对照本进行翻译。为了翻译准确，为了能从德文原文直接译成中文，北京大学于1974年通过外交途径从荷兰购得全部数学手稿原件的复印照片，将其中关于微积分的大部分论述和部分初等数学札记翻译成中文，编排成书，由人民出版社于1975年正式出版。(注：1973年1月，当时马克思恩格斯列宁著作编译局的负责人王惠德同志把一本《马克思数学手稿》(1968年的德俄对照本，是一位瑞士记者送给他的)交给了孙小礼，建议由北京大学来组织翻译。北大欣然接受这一建议，立即成立了北京大学马克思数学手稿编译组，由邓东皋、孙小礼具体负责，动员了数学系、西语系、俄语系、哲学系的教师参加翻译工作，德文方面有江泽涵、姚保琮、冷生明、丁同仁等人，俄文方面有吴文达、黄敦、郭仲衡、鲍良骏、颜品中等人。1974年3月译出了马克思关于微积分的大部分论述，请于光远、胡世华、陆汝钤和编译局杨彦君等同志帮助校对后，于1974年5月由北京大学学报印出专刊：马克思数学手稿(试译本)。1974年冬购得马克思数学手稿原件的照片后，由谙悉德文的江泽涵、姚保琮两位教授仔细辨认马克思原稿手迹，同冷生明、丁同仁、邓东皋等人反复讨论推敲，对原来的译文进行核校、修改和补充。最后又请北京师范大学的张禾瑞教授、蒋硕民教授对全部译稿从德文作了详细校订之后，才由人民出版社于1975年7月出版了马克思的《数学手稿》。)两种极端的看法
马克思《数学手稿》一书于1975年在我国编译出版以后，出现了两种极端的看法。一是过分地在数学上抬高马克思，说马克思为微积分奠定了理论基础，把19世纪许多卓越数学家的重要成就都视为形而上学，惟有马克思的论述才是符合辩证法的，甚至要在教学中用马克思《数学手稿》代替微积分教材。这种作法显然是极其错误的，既违背马克思的本意，也不符合数学发展的实际，对于高等数学教学只能产生有害的影响。另一种极端的看法则认为马克思根本不懂数学，至少不懂高等数学，写于19世纪的《数学手稿》没有什么学术价值，不值得翻译出版。这种完全否定的态度也是缺乏历史分析、不符合实际的。
由于这两种看法在不同程度上一直延续到现在，所以，我感到把马克思的《数学手稿》放在当时的历史条件下，根据其具体内容，作出实事求是的恰当的评价是必要的，有现实意义的。
数学手稿：一份宝贵的历史文献
通过阅读马克思数学手稿，以及马克思的著作和通信中有关数学的论述，联系到几十年来马克思数学手稿在我国的翻译、介绍、出版和影响，我特撰写本文谈谈自己对马克思数学手稿的理解和看法，就教于对此有兴趣的朋友们，也作为对马克思逝世120周年的纪念。
读读马克思数学手稿，就感到马克思是深钻到数学中去了，确如恩格斯所说：“马克思是精通数学的。”[12]当然，所谓“精通”，不能要求马克思通晓当时数学的全部，正好像现在堪称“精通”数学的专家也不可能对当前数学的全部内容都了如指掌一样。事实上，正如恩格斯所说：“对于自然科学，我们只能作零星的、时停时续的、片断的研究”，而且“自然科学本身也正处在如此巨大的变革过程中，以至那些即使有全部空闲时间来从事于此的人，也很难跟踪不失”[12]。马克思生前还没有来得及跟踪19世纪数学分析方面的重要成就，还没有阅读当时已经出版的，像哥西的《分析教程》(1821年初版)那样的一些重要著作。由于马克思还不了解微积分经过波尔察诺(B.Bolzano，1781-1848)、哥西(A.L.Cauchy，1789-1857)、外尔斯特拉斯(K.W.T.Weierstrass，1815-1897)等数学家的努力以后所取得的逐步“完善”的形式，因而他也不可能运用极限理论做出像后来人们所理解的那样来阐明微积分的本质。
马克思不是专职数学家，也没有对数学本身做出重大建树，他的数学手稿之所以受到人们重视，首先，因为他是人类历史上的伟大思想家，而他又在数学这一园地上数十年如一日地执着地辛勤耕耘过，这一事迹是人类文化史上所罕见的，是历史上任何一位思想家都难以相比的。现在我们读到的数学手稿，就是他以自己的独特方式辛勤耕耘的历史足迹，这足迹能够保留下来，为世人所知，是令人感到宝贵的，而且值得加以研究和回味，从中获得有益的启迪。
其次，在马克思数学手稿中，确有至今还在闪光的思想和见解。比如马克思在考察了微分学的具体历史发展过程以后，曾作出这样的论断：“新事物和旧事物之间的真实的从而是最简单的联系，总是在新事物自身取得完善的形式后才被发现。”[8](P144)这是对新旧事物关系的哲理性概括，也是对人的认识规律的哲理性概括，对人们的认识进展很有启发。
第三，在马克思主义理论中，非常注重人，尤其注重人的全面发展。马克思对自由时间或闲暇时间，也就是非劳动时间的重要性有深刻的论述，他把自由时间看作财富，把休闲看作人的生活的重要组成部分。那么，马克思自己怎样度过闲暇时间呢？据马克思的女婿拉法格回忆：“除了读诗歌和小说以外，马克思还有一种独特的精神休养方法，这就是他十分喜爱的数学。代数甚至给他以精神上的安慰；在他那惊涛骇浪的一生中有些最痛苦的时期，他总是以此自慰。”[7](P8)马克思曾对恩格斯说：“在工作之余——当然不能老是写作——我就搞搞微分学。我没有耐心再去读别的东西。任何其他读物总是把我赶回写字台来。”[3](P124)马克思对数学的特殊爱好，使他在任何情况下都能使自己沉浸于数学之中。当马克思的夫人燕妮身患重病——肝癌的时候，他给恩格斯写信说：“写文章现在对我来说几乎是不可能了。我能用来使心灵保持必要平静的唯一的事情，就是数学。”[2](P113)他的关于微分学的研究草稿，正是在1881年燕妮病危的那些痛苦的日子里写作的。
在马克思的数学手稿中，能看到很多幽默俏皮的语言和生动有趣的比喻。可以想见，数学曾是马克思寻求欢乐和安慰的休闲王国，在马克思的一生中有许多时日是在这里愉快地度过的，上千页的数学手稿就是马克思这种独特的精神休养法的真实记录。
综上所述，我认为，马克思数学手稿是一份宝贵的有特殊价值的历史文献。
【参考文献】
[1]马克思恩格斯选集：第3卷[M].北京：人民出版社，1971.
[2]马克思恩格斯全集：第30卷[M].北京：人民出版社，1975.
[3]马克思恩格斯全集：第31卷[M].北京：人民出版社，1972.
[4]马克思恩格斯全集：第29卷[M].北京：人民出版社，1972.
[5]马克思恩格斯全集：第32卷[M].北京：人民出版社，1971.
[6]马克思恩格斯全集：第33卷[M].北京：人民出版社，1973.
[7][法]拉法格。回忆马克思[M].北京：人民出版社，1954.
[8]马克思。数学手稿[M].北京：人民出版社，1975.
[9]马克思数学手稿[J].北京大学学报专刊，1974.
[10]马克思恩格斯全集：第35卷[M].北京：人民出版社，1971.
[11]马克思恩格斯全集：第20卷[M].北京：人民出版社，1971.
[12]恩格斯。反杜林论[M].北京：人民出版社，1971.
[13]马克思恩格斯全集：第36卷[M].北京：人民出版社，1975.
微积分论文 篇二
关键词：教学特点 课程特点 学习方法
中图分类号：G642 文献标识码：A 文章编号：1674-098X（2014）11（a）-0247-01
不管是文科学生还是理科学生，在刚入大学时都会遇到微积分的学习问题。下面，根据自身的学习经验及教学经验谈一谈微积分的学习。
1 微积分或数学分析的重要地位
微积分的发明与其说是数学史上，不如说是人类科学史上的一件大事。它是由牛顿和莱布尼茨各自独立地创立的。多年来，微积分或数学分析一直被大学的所有理工类和经济类专业列为一门重要的基础课程。
2 微积分或数学分析的授课特点
作为基础理论课的分析课，在大学的课程学习中，课堂教学是极其重要的，但是大学的数学课堂教学与中学数学的课堂教学相比，是有显著的差别的，差别如下。
2.1 班级人数多
由于大学入学比例逐年增加，大学各专业人数激增，而老师人数相对固定，从而微积分的教学通常是多个班级合在一起学习，课堂人数较多，有时甚至达到150人一个班。由于人数多，教学任务重，通常老师也没有时间让同学们提问题，也没有时间提问同学。再加上由于学生在高中基础、学习水平、理解接受能力存在差异，从而老师授课时只能先照顾大多数，对于跟不上、听不全懂的少数同学则无法细讲、重复讲。
2.2 教学进度快
微积分或数学分析的内容含有微分学和积分学两大部分，在极限理论的基础上建立了一元函数微分学和多元函数微分学以及一元函数积分学和多元函数的积分学，又建立了级数理论和解微分方程的理论，内容极其抽象且丰富，而学时与中学数学课相比又相对较少，一般要求两个学期就要把微积分全部讲授完毕，从而导致每次讲授教材内容较多。另外在教学要求上，大学与中学相比也有很大的不同。大学授课特点是讲重点、讲难点、讲疑点，讲分析问题的思路，讲解题的方法，例题讲授讲究以点带面，要求少而精，而不是像中学上数学课那样，教师通过列举大量典型的例子来反复的讲授某个定理。
3 课程特点
若想学好微积分，必须做到刻苦努力，认真钻研，仔细体会，深刻领悟。
（1）基本概念（定义）的掌握不能似是而非、一知半解，而是必须读懂，清楚，做到理解透彻、并能准确叙述。基本概念是数学理论的基石，如果学生对基本概念不清楚，那么数学的理论就会学不懂，也无法掌握和运用。这就要求不仅要会背诵定义而且能用自己的话准确地表述一个概念，能做到这一点才是真正理解概念的表现。
（2）基本理论（性质与定理）都是由一些概念（定义）、性质与定理组成的，是数学推理论证的基础，也是数学理论证明的核心。微积分中的有些理论非常抽象，对于初学者即使是理解起来都很困难，更别说证明了。从而在微积分的学习中，对于有些定理只要求初学者掌握定理的条件和结论，能做到熟悉定理并学会使用定理，而有些理论则必须牢记，比如中值定理等。
（3）通过做题来掌握数学的基本概念和基本理论，并能理论联系实际将所学内容应用到实际生活中。微积分的学习没有捷径可走，在理解了微积分的概念、理论之后必须通过做题而且是做一定数量的题，来不断加深对微积分概念和理论的理解。大家公认”不做题等于没学数学”，若要逐步提高数学素养可以通过做题实现。
4 探讨微积分或数学分析学习的重要环节
由以上内容，特提出学好微积分需要重视的几个环节。
第一个是听课，听课要集中精力，在听课之前预习的话，听课会更有针对性。在听课的过程中，做好笔记，“好记性不如烂笔头”，边听边记。听课要抓住重点，认真领会老师对问题的分析思路，如果某些问题没听懂，这时千万不要在这些问题上纠结而影响继续听课，此时可以把这些问题先放一放，在问题相应处作上记号，跟上老师教学思路。不懂的问题和有疑问的问题待课后复习时再解决。或自己思考钻研，或与其他同学讨论，或找老师提问，或看指导书等。
第二个环节是复习整理笔记，数学不像别的科目，一天不练就会生疏一些。当天的内容一定要当天复习，否则时间一长就容易忘记，要想再赶上就会比较吃力。复习可以在课下将教材和笔记结合起来进行，按自己的思路对笔记进行整理，整理每次课的内容，就是一个复习的过程。在整理笔记时，能用自己的话复述出当天学习的内容、重点、难点，并问问自己掌握了哪些，还有哪些问题不懂有疑问，解决方法等，通常复习时间与上课时间应相当并更多。
第三个环节是独立完成作业。解题训练是学好微积分的重要组成部分，习题是对教科书内容的扩充与拓展，演算习题是培养学生的理解能力、解题能力及探索能力的重要环节。要把微积分学好，及时认真地完成作业是一个必不可少的学习环节。每次的作业最好在当天完成，但是应该在复习完当天的内容之后进行。切忌边翻书边看例题，照猫画虎式地完成作业，这样做是收不到任何效果的。切忌抄袭，尽量不先看书后的答案。做作业不仅是检验学习效果的手段，同时也是培养、提高综合分析问题的能力、笔头表达的能力以及计算能力的重要手段。认真完成作业是培养同学们严谨治学的一个环节。因此，要求作业“字迹工整、绘图准确、条理清楚、论据充分”。
第四个环节是阶段总结。在学完一节或一章或几章之后，应当对学过的知识进行归纳和总结，将当前学到的内容整理归类，有利于知识记忆的条理化和系统化。这样也有利于从宏观上、整体上对知识的掌握。总结应包括一章中的基本概念，基本理论，重难点；本章解决了什么问题，解决方法；提出了哪些重要理论和结论，解决问题的思路。条理要理清楚，同时归纳出重难点与主要内容以及自己对问题的认识和掌握情况。
总而言之，微积分的学习并不难，只要掌握住微积分课程的特点，按照上述建议去学习，再将学习到的知识应用于实践中，比如参加数学建模等，既强化了对知识的认识，又增加了学习的乐趣。
参考文献
微积分论文 篇三
关键词：微积分 牛顿 莱布尼兹 极限
1. 数学对自然科学的影响
数学是自然科学的基础学科，自然科学的发展离不开数学的发展。尤其是数学中的微积分理论 ，对整个自然科学的发展起了极大的推动作用 ，为自然科学中一些现象的解释提供了坚实的理论基础，使有限和无限、连续和离散、代数和几何形成了有机的结合与统一。在数学的众多学科分支中，就严谨性、应用性和简洁性而言，微积分应是最具代表性的学科之一。微积分以简洁、优美的形式把运动学问题、磁场问题、几何中曲线的切线问题、函数中最值问题、曲线长度及曲面面积和立体体积问题总结于一个高度统一的理论体系之中。因而，这一理论的产生被誉为数学史上乃至人类文明史上的伟大创造，受到历代数学家、物理学家、哲学家的盛赞。如果我们对其历史和现状作一番认真的考究，追溯这一理论产生的历史，将会使我们更深刻的认识到数学对自然科学发展所起的深刻影响。于此，微积分提出之后，遭到了许多人的猛烈抨击，其中也包括一些著名的数学家。牛顿继承和总结了先辈们的思想，作出了自己独到的建树。他把自己的发现称为“流数术”，称连续变化的量为流动量，无限小的时间间隔为瞬，而流量的速度称为流动率或流数。牛顿的“流数术”就是以流量、流数和瞬为基本概念的微分学，主观唯心论哲学家贝克莱是抨击微积分理论最强有力的人物。他愤恨牛顿的微积分理论给唯物论以支持，于是向流数术展开了猛烈的攻击。1734年，贝克莱出版了一本书：《分析学家：或一答致不信神数学家的论文，其中审查一下近代分析学的对象、原则及论断是不是比宗教的神秘，教义的主旨有更清晰的陈述，或更明确的推理。
2.关于微积分的本原问题
2．1 微积分使极限理论更加成熟
我们知道微积分的基础是极限论，而牛顿、莱布尼兹的极限观念是十分模糊的，牛顿的瞬和流数，莱布尼兹的dx和dy究竟是什么含义？ 在他们各自的著述中没有给出明确和一贯的定义，在运用时也显得前后不一。牛顿和莱布尼兹在使用无限小量时，有时视瞬或dx为无限小增量，而有时视之为一个有限量加以运算，甚至把它作为零而忽略不计，这就在逻辑上造成明显的矛盾。牛顿曾用有限差值的最初比和最终比――一种萌芽状态的极限概念来说明流数的意义。但是当差值还未达到零时，其比值不是最终的，而当差值达到零时，它们比是0。怎样理解这样的最终比，牛顿也承认自己的方法只作出“简略的说明，而不是正确的论证。”而莱布尼兹的微积分以后，连当时在数学上颇有造诣的数学家象Bernoulli兄弟也颇感费解：“与其说有一种说明，还不如说是一个谜。”究竟极限是什么？无穷小是什么？在今天很容易理解。但在十九世纪以前还是一个数学上本质性的难题。基极限思想在当时也散见于各个时代著作中，如中国《庄子？天下篇》中“一尺之棰”、Zeno悖论、Endoxus的“穷竭法”、刘微的“割圆术”等和极限思想有直接关系，但这些都只能说是对极限有些模糊认识而已。十八世纪，许多数学家为维护微积分的应用价值和美学价值，在回击来自数学界内外的攻击同时，竭尽所能使微积分在理论上严密化、逻辑化，在形式更趋完美。在十八世纪前期，许多数学家，尤其是英国数学家总是企图使微积分与欧几里得几何结合起来，他们试图借助于几何学中论证之严谨体系去完善微积分。但这一努力是失败的，打破这一僵局的大数学家欧拉，他以代数方式研究微积分，力图用形式演算方式代替累赘的几何语言，使微积分建立在算术和代数基础上。达朗贝尔把牛顿的“最终比”发展为一种极限概念，并试图用极限加以定义和说明。他认为应以极限理论作为微积分的理论基础，这一思想在数学界产生了极其深远的影响。直到1821年以后，柯西出版他的《分析教程》、《无穷小计算讲义》、《无穷小计算在几何中应用》这几部具划时代意义的名著之后，微积分一系列基础概念及理正式明确地确定下来。自此以后，连续、导数、微分、积分、无穷级数的和概念也建立较坚实的理论基础之上―极限理论。我们现在所谓的极限的柯西定义或年之后半个世纪经过维尔斯特拉斯的加工才完成的。柯西把整个极限过程用不等式来刻画，使无穷的运算化为一系列不等式的推导。维尔斯特拉斯将柯西的完成了现今的-方法，形成了微积分的严谨之美。
2．2微积分―――状态与过程的统一
微积分是十七世纪数学所达到的最高成就。微积分出现以后，逐渐显示出它非凡的威力，过去许多数学家束手无策的问题，至此迎刃而解。恩格斯指出：“只有微分学才能使自然科学有可能用数学来不仅表明状态，并且也表明过程：运动。”然而，在十九世纪以前，微积分理论历史发展始终包含着矛盾：一方面纯粹分析及其应用领域中呈现出一个接一个的伟大发现与成就；另一方面则是基础理论的含糊性。事实上，无论是牛顿还是莱布尼兹，他们对微积分所作的论证都是不很严谨的和不清楚的。在欧洲大陆方面，莱布尼兹的含糊也招致了尼文（Nieuwentijt，荷兰哲学家）的反对。荷兰的物理学家和几何学家纽文也就一系列问题公开提出质问：无限小量与零怎样区别？无限个无限小量之和为什么能够是有限量？在推理过程中为什么能舍弃无限小量？包括一大批数学家也群起而攻之。尽管他们承认微积分的效用，欣赏微积分的美学价值，但却不能容忍这种方法的理论本身如此含糊甚至令人感到荒谬。法国数学家罗尔微积分为：“巧妙的谬论的汇集。”法国思想家伏尔泰则说微积分是一种“精确的计算和度量其存在无从想象的东西的艺术”。贝克莱和尼文太对微积分的攻击纯粹是消极的，他们不能给微积分以严格的基础，但他们的论点都有一定道理，在一定程度上它激励了微积分进一步的建设性工作。例如突变函数论、非线性泛函分析等学科的建立。因此，人们追求数学美，以达到精神上的愉悦，而这一点正是通过数学家经由数学的“神秘美”、“奇异美”和“朦胧美”，而最终达到完备的“统一美”和“和谐美”。
2.3微积分―――分析与几何的统一
微积分的本原问题是指它同现实世界的关系问题，即它是产生于存在还是产生于纯思维的问题。唯物主义与唯心主义有着根本不同的看法。唯心主义认为纯数学产生于纯思维。它可以先验地，不需利用外部世界给我们提供的经验，而从头脑中创造出来。杜林、康德、贝克莱等唯心主义者就是这种观点的代表。牛顿、莱布尼茨是微积分的创立者。他们分别在研究质点运动和曲线的性质中，不自觉地把客观世界中的运动问题引进了数学。各自独立地创立了微积分。这个功劳是应该肯定的。但是，他们没有很好注意到微积分同现实世界的亲缘关系。其运算出发点是先验的。所以，马克思把牛、莱的微积分称为“神秘的微分学”唯物主义认为，微积分同所有的科学一样，它起源经验，然后又脱离外部世界，具有高度抽象性和相对独立性的一门崭新的科学恩格斯指出：“数学是从人的需要中产生的”微积分是从生产斗争和科学实验的需要中产生的。生产实践对微积分的创立起着决定的作用。从十五世纪开始，资本主义在西欧封建社会内部逐渐形成。到十七世纪，资本主义生产方式有了巨大发展。随着生产发展，自然科学技术也雨后春笋般地发展起来了。它们跑出来向数学敲门，提出了大量研究新课题。微积分的创立就是为了处理十六、十七世纪在生产实践和科学实验中所遇到的一系列新问题。这些问题归纳起来大致分为四类：一是已知物体运动的路程与时间的函数关系，求速度和加速度；反过来，已知物体运动的速度和加速度与时间的函数关系，求路程。二是求曲线的切线。三是求函数的极大值、极小值。四是求曲线的弧长，求曲线所围成的面积，曲面所围成的体积等求积问题上述四类问题，形式各不相同，但有着共同的本质，即都是反映客观事物的矛盾运动过程。其中的量都在不断变化着。因此，研究常量的初等数学无法解决这些问题。生产和科研的需要，促使数学由研究常量向研究变量转化。于是微积分在传统代数学的长期孕育中，经《解释几何》这个“助产婆”的接生“而分娩了”。所以，恩格斯说：“数学的转折点是笛卡尔的变数。有了变数，运动进入了数学。有了变数，辩证法进入了数学。有了变数，微分学和积分学也就立刻成了必要的了”。
3.牛顿―莱布尼茨公式――联结微分与积分的桥梁
唯物辩证法是关于普遍联系的科学。微分与积分是一对矛盾的两个方面。它们之间的联系集中表现在互逆关系上。微分是已知原函数求导数（微商）；积分则是已知导数求原函数。微分与积分的互逆关系，揭示了导数与原函数的对立统一关系。原函数经过微分转化为导数。导数在积分过程中又还原为原函数。微分与积分相互转化的辩证过程普遍存在于自然界中。前面说过，水分子的蒸发与凝聚的过程就是微分与积分矛盾转化的过程；在几何学中长与宽、面积与体积的相互转化；在物理学中路程与速度、速度与加速度的相互转化，都可以用微分与积分相互转化来描述。微分与积分这种相互联系、相互转化的辩证内容尽管在现实世界早已存在。但在数学领域里，这种互逆关系在“牛顿―莱布尼茨公式”诞生前一直被隐藏，未被人们所认识。这是因为微分与积分在发展历史上各有渊源。在几何学中，前者和计算切线的斜率有关。后者则和计算曲边形的面积相联系。牛顿、莱布尼茨之所被认为是微积分的创立者，主要是他们发现了微分与积分的互逆关系，找到了根据导数求原函数的一种简便方法，从而把表面上互不相干的两种运算统一起来了，使微分与积分成为一种普遍意义的强有力的数学方法，为数学的发展开发开辟了一条新的康庄大道。牛顿―莱布尼茨公式是微积分的基本原理。它表述为设函数？（x))在（a? b)上连续。如果函数F（x）是函数？（x）的一个原函数，则有：b ∫ ?（x）dx＝F（b）-F（a）a这个公式左边是一个定积分，右边是原函数在（a?b）两端值的差。它把数轴在一个区间的定积分同这个区间端点的原函数联系起来了，揭示了微分与积分的对立统一关系。为了说明这个问题，我们从分析具体问题入手，先来考察质点在直线上的变速运动。设时刻t时质点在直线上的位置是s（t），那么从时刻t＝a到时刻t＝b这一区间，质点运动的路程为s（b）-s（a）。这是质点运动的一个方面。
再从另一个方面看。设已知质点在时刻t内的瞬时速度为u(t），我们用另一种方法可从u（t）计算出质点所走过的路程为：b ∫ u（t）dta 由于这两个表达式都是表示同一质点在同一时间内所走过的路程，因而应该是相等的，即b ∫ u（t）dt＝ S(b)-S（a） a 从微分角度看，路程函数S(t)的微商是速度函数u(t)dS(t) ― ＝u(t) 或 dS（t）＝u（t）dt dt b从积分角度看，速度函数u（t)的积分值∫ u（t）dt a 表达了路程函数S(t)的两点值之差S（b)-S(a)。这里的b是任意固定的，有一个b就有一个S（b)与之对应。这样当我们深入一步，从运动的角度看公式时，即把b视为变量t，它给出了用定积分表达路程函数的方法：t ∫ u(t)dt＝S（t)-S（a）at 这就用变上限的积分∫ u(t)dt表达了路程函数S（t)。因而 adF(x)＝?(x)dx在区间（a?b）上的无限积累。微分与积分的同一性与差异性都包函在牛―莱公式之中。其同一性的一面是微分与积分共处于牛―莱公式之中，互相依存，互相贯通，在一定的条件下相互转化。原函数在微分条件下转化为导函数；导函数在积分条件下转化为原函数。微分把“有限”转化为“无限”，而积分又把“无限”转化为“有限”。牛―莱公式就是在这种“有限――无限――有限”的转化中，把定积分计算变为不定积分计算，把繁杂的极限计算转化为原函数两点值之差的运算。从而找到了计算定积分的捷径。然而，牛―莱公式的两边不是绝对的同一，绝对的统一，绝对的转化，而的有差别的同一，对立的统一，有条件的转化。公式的两边仅仅是数量上的同一，两边各自的性质、地位与作用并不相同。这个不同正是微分与积分的差异性，即互逆关系的表现。归纳起有三个方面：其一，两者所反映的事物性质不同。在物理学中微分所描述的是物体运动的路程向速度转化以及速度向加速度转化的过程；而积分却反其道而行之，它描写的是加速度转化为速度，速度转化为路程的过程。在几何学中微分就是求曲线的切线；而积分是求弧长，求曲线所围成的面积，曲面所围成的体积。一般地讲，微分就是已知函数求函数的变化率；而积分是根据函数的变化率求函数。其二、两者所处的地位不同。在微分与积分这对矛盾中，一般地说微分是矛盾的主要方面，居于支配地位；积分是矛盾的次要方面，居于被支配地位。微分是积分运算的前提和基础。进行积分运算，首先要“化整为零”，进行无限分割，即微分。无微分就不可能进行积分。但是积分又不是消极被动的。在导函数向原函数转化过程中，最后是由积分来完成的。没有积分就无法完成这一转化。其三、各自的作用不同。微分是把整体分成无限多个无穷小量，完成以“直”代“曲”的转化；而积分又把无穷多的无限小量累积起来，实现以“以曲代直”。微积分的“曲”与“直”、“有限”与“无限”的相互转化正是在微分与积分的相互作用、相互制约下实现的。它推动微积分的基本矛盾――“直”与“曲”，“匀”与“不匀“的矛盾运动，解决了初等数学无法解决的矛盾。
参考文献：
［1］张楚迁《数学文化》高等教育科学出版社
［2］张顺燕《数学的源与流》《数学的美与理》
［3］邓东皋 孙小礼 《数学与文化》
［4］克莱茵 《古今数学思想》
［5］ 王树和《数学思想史》
［6］李文林《数学史概论》
［7］石开屏《大学生科普读物》
微积分论文 篇四
在议论性文体中，论点、论据、论证是必不可少的三个要素。论证是运用论据对论点进行证明的过程，也是不少中学生议论性文体写作的一个难点。
且看下面这段议论：
一个人想成就大事，就不应满足于已经取得的成绩，而要怀着执著的信念，去攀登一个又一个高峰，不断超越自己。
世界球王贝利一生共踢进2000多个球，其中不乏精彩绝伦的射门。然而当人们问他所进的球哪一个最漂亮时，他却说：“下一个。”
我国著名电影导演谢晋，他所导演的影片多次获金鸡奖、百花奖，有的还得了国际奖。而当人们问他对那一部最满意时，他的回答却是：“下一部。”
显然，由于缺乏必要的论证，这个议论片段的论点和论据未能构成有机的整体，因而极大地影响了文章的逻辑性和说服力。这也是许多人初学议论性文体写作的通病。
其实，论证一点也不玄。本文推出的论点论据扣合十法，将使论证变得简捷而又易于操作，使文章的论点和论据丝丝入扣、天衣无缝。
一曰“归纳扣合法”。即由论据中的个别具体事实延及现实生活中的普遍现象，使论点和论据融为一体。试以此法将上面那段议论的论点与论据1、论据2扣合如下（以下二至八法均以此段议论为例，论点、论据省略）：
其实，只要我们稍加考察，就不难发现古今中外像贝利和谢晋这样的成大事者，可谓不胜枚举，比比皆是。曹雪芹批阅十载增删五次，“字字看来皆是血”，乃成世界不朽文学巨著《红楼梦》；齐白石从成名及至80岁以后，五易画风，成为一代国画宗师；比尔・盖茨的微软公司继1995年推出世界软件史上最为引人瞩目的“视窗95”后，从“视窗98”到“视窗XP”乃至即将上市的“视窗VISTA”，年年都有升级产品问世；爱迪生自16岁发明电话自动拨号机开始，平均每三天就有一项新发明；吴文俊继“拓扑学大地震”之后再创“机械化数学”；张健挑战极限；刘翔超越梦想……所有这些成功的秘诀，就在于不断地挑战自己，超越自己。
二曰“类比扣合法”。即由论据中的个别具体事实推及具有某种相似特征的同类事物，使论点和论据融为一体。例如：
像世界球王贝利和著名导演谢晋这样在事业上堪称登峰造极的大师级人物尚且时刻不忘挑战自己，超越自己；而我们作为本当“少而好学，如日出之阳”的青年一代，又岂能满足于刚刚取得的一点成绩而沾沾自喜，停滞不前？
三曰“比喻扣合法”。即由论据中的个别具体事实推及非同类事物，借助比喻使论点和论据融为一体。例如：
由此，我不禁想起传说中的凤凰，亦古阿拉伯神鸟及西方之长寿鸟。其鸟满500岁乃集香木浴火更生，华美而不复死。然而，其后每500年，凤凰复又浴火一次；每一次心甘情愿、充满痛楚的浴火都是为了新的更为华美的更生。
朋友们，让我们都成为新时代的凤凰，不断浴火更生，不断超越自己！
四曰“对比扣合法”。即引出与论据中的事实相反或相对的事物，借助其与论据的对比使论点和论据融为一体。例如：
与贝利和谢晋恰恰相反，南北朝时的江淹，少时笃志好学，其诗赋幽深奇丽，尤以《恨赋》《别赋》最为脍炙人口，到晚年却沉湎安逸而不思进取，以致“江郎才尽”，再也写不出好作品。又据《青年博览》载，人称神童的少年大学生钱某，12岁就会微积分，进了安徽科技大学，除了只身到图书馆看他的微积分，就是在校园里闲逛，不思进取，成绩一落千丈，结果被学校退学后当上一名油漆工。诸如此类的例子，难道还不足以发人深省，引以为戒吗？
五曰“正面推论扣合法”。即顺着论据中的事实，从正面推出其所必将导致的结果，使论点和论据融为一体。例如：
假设三百六十行，行行都有更多的人像贝利、谢晋那样，永不满足，永远不断地挑战自己，超越自己，那么，我们就将拥有全世界最多最优秀的人才。而谁赢得人才，谁就将赢得未来，我们还有什么大业不能成就，什么目标不能实现！
六曰“反面推论扣合法”。即顺着论据中的事实，从反面推出其所必将导致的结果，使论点和论据融为一体。例如：
试想，假如缺乏这种执著的信念和不断挑战自己、超越自己的精神，贝利绝对不可能成为世界头号球星，谢晋也成不了中国最著名的电影导演之一。那是多么令人遗憾！
七曰“转折扣合法”。即对论据中的事实作更进一层的转折式推想，使论点和论据融为一体。例如：
然而，风不是总朝着海员希望的方向吹，很多事情想起来容易，做起来就难了。要真正挑战自己，超越自己，还必须具备坚忍不拔的毅力和不达目标誓不罢休的恒心；否则即使目标再宏大，也将一事无成。
八曰“收束扣合法”。即对所列两个或两个以上的论据加以收束，使论点和论据融为一体。例如：
一个是世界球王，一个是著名导演，正因为他们具有执著的信念和不断挑战自己、超越自己的精神，才能达到事业的顶峰。他们不愧是真正的强者！
九曰“评析扣合法”。即对论据中的事实作适当评论或分析，使论点和论据融为一体。例如（见笔者杂文《千里马择主而事可也！》）：
〔论点〕于是乎便有一想：与其寄希望于伯乐，让千里马一味巴望伯乐来发现，何如让千里马主动去寻找伯乐？哪个部门、哪个单位的领导是真伯乐，千里马则可从之；反之，则可弃之。如此，则伯乐常有，千里马亦常有也。
〔论据〕遥想春秋战国，其时诸侯割据，群雄蜂起。天下英明的君主莫不眼观六路，千方百计地招揽天下的贤人才士，以便壮肱股之势而图千古之霸业；天下的贤人才士更是耳听八方，费尽心机地打听天下英明的君主，以便展平生之志而建盖世之殊勋。一时间，演出了一幕中国历史上空前绝后的千里马择主而事的活剧，令人叹为观止。苏秦离秦投赵，终挂六国相印而为纵约之长，宏图大展，威震天下；乐毅闻燕昭王筑黄金台以厚待贤士，毅然弃魏从燕，乃率五国兵马叩关齐国，连下80余城，战功赫赫，名扬四海；宁戚拜见齐桓公，非但不出示齐相管仲的引荐信，反而当面奚落齐桓公，不惜以脑袋一赌国君的度量……史书中诸如此类的记载可谓不胜枚举，俯拾即是。
〔扣合〕试想彼时的千里马，想离开谁就离开谁，想投奔谁就投奔谁，不为山川阻隔，不受地域限制，谁也阻拦不了，谁也奈何不得，何等痛快！这样的千里马，被埋没的恐怕就很少了吧！
十曰“解决问题扣合法”。即通过对论点和论据中的事实所提出的问题的解决，使论点和论据融为一体。例如（见陈菲菲随笔《中国人为什么拿不到诺贝尔奖？》）：
〔论点〕……幼儿早期的道德教育至关重要。
〔论据1〕然而，目前中国幼儿的道德教育却实在令人担忧。在京城某幼儿园，教育家做了一个发人深省的问卷调查。孩子们被问：“当你看到一只小猫躺在路旁，快要死了，你会怎么办？”45%孩子的回答是：“踢死它！”“弄死它！”15%孩子的回答是：“不理它！”很难想象一个没有受过优良道德教育的缺乏同情心的幼儿，长大后会有什么不俗的表现。
〔论据2〕报载，某中国留学生竟因没能通过博士论文答辩而枪杀了五位主考官！受审时居然振振有词：“没有任何人能阻止我获取高分！没有任何人能阻挡我获取博士学位！”据调查该生从小被灌输以强烈的竞争意识，笃奉“以考分论英雄”为信条，以至因早期道德教育的缺失而酿成大祸。
〔扣合〕看来，幼儿教育的当务之急不是所谓发展特长、张扬个性，也不是所谓开发智力、提前读写，而是要补补道德教育这一课，而且非得“恶补”才行！果能如此，我就敢斗胆把“中国人为什么拿不到诺贝尔奖？”这个困惑了我们整整一个世纪的疑问句改为反问句了――
中国人为什么拿不到诺贝尔奖！
诚然，“文无定法”，论点论据扣合的方法绝不仅仅只是以上阐述的10种。但只要对这10种做到烂熟于胸，运用自如而又能举一反三，触类旁通，就一定会妙笔生花，在不经意间创造出新的更加巧妙的论点论据扣合法。
微积分论文 篇五
【关键词】高职学生；数学教学；自信心
1 自信心的含义
《辞海》中对自信的解释是：“自己相信自己”。《中国百科全书大辞典》中对自信心的解释是：“坚信自己能力和行为力量的积极健康的个性品质和心理特征”。国内研究者对自信的定义也很多，如燕国材认为，自信就是相信自己，相信自己所追求的目标是正确的，也相信自己有力量与能力去实现所追求的正确目标。黄希庭指出，自信是个体过去获得很多成功经验的结晶。自己相信自己是要有前提的，不可能是盲目的，是通过自己的经历积淀出来的一种力量。要学生获得学习的自信心，就要让学习在学习中获得成功，体验学习过程中成功的快乐，有信心去解决学习中遇到的各种困难，从而树立自身的自信心。教育学专家班华先生在研究中表明，自信心在人的创造性潜能关系中是第二重要的心理品质。自信在人格构成中起着重要的作用，它可以使个体看到自己的长处和优点，相信自己有能力解决面临的问题，相信自己有能力获得所期望的成功，并愿意为之付出不懈的努力。自信心是一个人品质的核心，它既是一种稳定的心理品质，又是一种积极的心理体验。它可以激发个体在遗传、环境、教育的作用下获得能力或是形成能力，是一人启智的动力，成才的基础，成功的保证。
学习自信心是学生在学习过程中对自己的能力、目标、价值和潜能的认识，是反映学生对在学习过程中是否有能力完成学习任务的信任程度的心理特性，是学生在学习过程中对自我价值和自我能力的评估。数学学习的自信心是指学生在数学学习过程中对自己的数学能力、数学认知、数学实践等方面的信念，它影响着学生对数学学习任务的选择、接受和学习状态的准备，影响着对数学学习的坚持性和情绪调节。
2 自信的重要性
良好的自信心是一个人战胜困难、获得成功的前提和重要精神支柱，是成功的关键因素。自信心是一个人成功的催化剂，它能调动人的潜能，使潜能发挥到极致。法国作家卢梭说：“自信心对于事业简直就是奇迹，有了它，你的才智可以取之不尽、用之不竭。而一个没有自信的人，无论他有多么大的才能，也不会有成功的机会。”我们的教育旨在提高学生的素质，素质教育的内容包括知识、能力、品格素质和身心素质。在这四个方面中，又以品格素质和身心素质尤为重要。身心素质包括身体素质和心理素质，是人才素质中不可缺少的一项基本素质，它在人才素质要素中具有核心和关键的作用。如果一个学生具有了进取意识、自主精神、高度的责任心、自信心、善于学习、乐于合作，对科学和真理有着执著的热爱，那么掌握知识，提高能力就是水到渠成的事情。如果一个学生相信自己，他的学习欲望就会强烈，敢于大胆探索，不怕失败，即使在失败中也不气馁，能保持积极向上愉快的情绪，积极想办法，克服困难，解决问题，愿意向他人请教并与他人交往，有团队协作精神，在获得知识和解决问题的同时，也能发展成为一个乐观、积极向上、勇敢和充满活力的人。相反，一个缺乏自信心的学生，往往在做事上因为怀疑自己而犹豫不决，对自己能力估计过低，由于看不到自己的长处和优势，就会感到处处不如他人，过高的估计他人，贬低自己，认为自己无能，无所作为，悲观失望，甚至对稍做努力就可以完成的事情，也轻易放弃，以致于因为不敢表现自己而失去很多锻炼机会。怯于与周围人交往，从而形成胆小、没有主见、缺乏探索与创新的精神，依赖性强。一位哲人曾经说过“主宰命运的并不是财富，而是勇气和自信心。”因此，培养学生的自信心是比传授知识更重要的事情，是对学生的一生负责任。
孔子曾说：“吾心信其成，则无坚不摧，吾心信其不成，则反掌折枝之易亦不能”，这句话已充分说明了自信心的重要作用。自信心是心态的核心，它几乎贯串于心态的各个方面。自信心如同能力的催化剂，它能将人的一切潜能都调动起来，将各部分的功能发挥到最佳状态。莎士比亚说过：“自信是走向成功的第一步，缺乏自信是失败的重要原因。有了自信心才能充满信心去努力实现自己的目标”。一个人的自信不是与生俱来的，而是后天养成的心理品质和心理习惯，尽管它和其它习惯一样是可能后天养成的，但是它却不是凭空养成的习惯，也不是老师或是他人几句激励的话就能起到作用的，他是要学生通过自己成功的体验，看到通过自己的努力确实解决了一些问题，获得了成功，他才会相信自己的能力与价值，从而获得自信。
3 高职学生对学习数学自信心的状况
数学学习的自信心是指学生在数学学习的过程中对自己的数学能力、数学认知、数学实践等方面的信念，它影响着学生对数学学习任务的选择、接受和学习状态的准备；影响着对数学学习的坚持性和情绪调节。数学学习的过程就是新的数学内容与学生已掌握的有关内容相互作用，从而形成新的数学认知结构或扩大原有的数学认知的过程。在这个过程中学生的智力因素也就是观察力、记忆力、思维能力、想象力和操作能力起着直接的作用，同时数学学习还受到非智力因素也就是情感、意志、兴趣、性格、需要、动机、目标、信念、世界观等方面的影响，它们虽不直接参与数学学习的认知活动，却对数学学习起着推动、增强、坚持、调节控制等作用。在非智力因素中，对学生的学习起着重要作用之一的就是自信心。
考入高职的学生，在初中或高中阶段或多或少经历了一些数学学习方面的不如意或是打击。面对班级的“尖子生”，他们会有一种自叹不如、自惭形秽的感觉，认为自己不论如何努力也达不到“尖子生”的水平，“尖子生”那高不可攀的成绩，无形之中对他们的自信心就是一个打击。在日常的学习中，受应试教育的影响，老师要抓升学率和及格率，没有精力关注他们。在中学有一句话，叫做“抓两头带中间”，他们一般就是那些被带动的中间，足以说明他们在中学阶段被忽略的地位。他们得不到老师的关注，也得不到老师的欣赏与赞扬，而是常常在自己的努力中，感受到一种失败，又没有人对他们及时地加以鞭策与鼓励，加上自身缺乏顽强的意志力，退缩一次就容易形成放弃，渐渐地他们对自己丧失了信心，认为自己根本就不是学数学的材料，在数学面前自信心受到极大伤害。而且在潜意识中认为自己是不聪明的，能力欠佳的，努力是徒劳的，形成“吾心信其不成，则反掌折枝之易亦不能”的心态。这种心态的形成将会增加学生对社会的焦虑情绪，降低学生的社会交往能力，对学生未来的生活、工作和社会交往带来不利，降低学生的生活质量。
经过观察笔者发现，高职学生的数学基础比较差，成绩尽管不如意但不是最差的。他们有取得好成绩的愿望，但由于能力不足或学习方法不得当，或意志力不够顽强等等，遭遇了种种打击，挫败的感觉比较强烈，自信心不足，自觉不自觉获得的情感基本上都是消极的，这些消极的情感影响了他们，使他们因为害怕失败而不愿意努力，而不努力就不会会成功的体验，从而自信心也不足，这样就形成了一个恶性循环的过程中。自信心是学生心理素质的一个重要组成部分，也是非智力因素的一个构成要素，它对于激发人的意志力、发挥人的智力潜能，处理复杂的人际关系都具有巨大的作用。在高职的学习通常是他们人生的最后一个学习阶段，所以，在这个阶段关注学生心理，让他们在数学的学习过程中，感受到老师对他们关爱、欣赏、肯定，哪怕是微不足道的成功的喜悦，都能提升他们的自信心，这对他们的整个人生都将具有重大的积极影响。因为数学教学的最终目的，不是要使学生获得多么高的分数，而是要使学生通过学习提高自己的能力，获得自信，有“吾心信其成，则无坚不摧”的信心，有顽强的意志力，有一个积极的人生态度，以适应今后的长远发展和终身学习的需要。
4 提高学生自信心的策略
4.1 通过成功的体验培养学生的自信心
自信是过去获得很多成功经验的结晶，每一次成功都是获取自信的源泉，成功是自信的积淀。考入高职的学生通常是在高中学习中不太得志的那一部分，看到成绩好的同学升入普通高等院校，他们会有一些沮丧，而他们之所以学习成绩不好，没有考入普通高校，很多同学都是因为数学成绩不好，因而导致其它科目的成绩也不理想了，所以他们对数学有一些无奈也比较厌恶。笔者仔细观察过，我们高职学生的智商丝毫不差，只是在初、高中的学习时期，老师无暇顾及他们，他们自己的意志品质或是自信心、兴趣出现了不同的问题，导致他们现在的状态。笔者希望把数学做为突破口，在他们最没有信心的数学上，树立他们的信心，让他们以后不管遇到什么样的难题都会想到，那么难学的数学我都能学会，还有什么我学不会，还有什么难题解决不了，笔者觉得这个心气是让他们在社会上立足的根本。笔者希望学生能在学习数学的过程中，重塑信心，笔者不想在数学课上看到学生那游离消极的目光，还有那种不参与不思考不探索不努力的精神状态。在高等数学中，导数是很关键的一章，因为导数学好了可以解决极限的问题，而且积分是导数的逆运算，学好导数有助于积分的学习。导数本身难度不大，笔者常常把导数做为突破口，让学生通过学习导数获得成就感，取得自信心，从而提高学习数学的兴趣。导数一章刚开始，就做好充分的准备，复习他们忘记了的基本初等函数，讲的时候告知他们这些以前学过的知识忘记了也没关系，你只要记住了他们的形式就可以。然后再讲复合函数，重点关注成绩差、对学习数学没有兴趣的同学，对他们提问，不放弃任何一名同学，不断的表扬、鼓励，通过对一个同学的表扬、鼓励，带动其他同学。首先，让他们能顺利地把任意一个函数复合函数拆分成是由哪些基本初等函数复合而成的，然后让他们熟记导数的基本公式，并提前就告诉同学学好导数有什么作用，可以解极限的题，也有助于积分的学习，我们只要记住了导数的公式再会求复合函数的导数，就可以解导数的所有问题。做这些事情的时候，老师的信心一定要足，困为老师的自信可以感染学生。可即使这样，也有极个别同学依然无动于衷，连公式都不记，问他为什么，他说我从小学或初中数学就不好，根本学不会。自信心的缺乏，导致他们在自己能力范围之内的事情也不愿意去做，内心的胆怯，对事物的不确定，使他们对自己的能力产生怀疑，他们害怕即使努力得到的仍是失败，所以老师必须让他们体会到成功，只有成功才会使他们重塑自信。面对这样的学生我会用很平和的语气跟他们说，其实大家都考到这里来，差距是不大的，为什么有人能学的好，有的人能差一些，其实就是有没有自信、肯不肯努力的问题。一个人在事情还没做以前，就认定了自己做不了，那他就不会努力了，不努力了事情还能做成吗？然后再进一步同他们商量说，你负责记公式，我负责教你做导数的题，怎么样？而且我能保证你会做很多的导数题，甚至是所有导数的题。然后再进一步开导他说，你可以自己算一笔账啊，只要你努力了，你可以在很多方面有收获，最现实的是期末考试能及格，不用补考，能顺利毕业；其次，你可以在这个过程中收获一份信心，认为自己很棒，将来在工作中不管遇到什么难题，你就想那么难的数学我都能学会，还有什么问题解决不了？而且上课时有事情做时间过得快，有乐趣，不信你试试怎么样？其实每一个人都渴望成功，尤其是我们专升本的学生比较懂事，老师跟他这样信心十足的保证，会让他很动心的，而且笔者也真心帮助他们，笔者一定要让他们体会到成功的喜悦，而且不断地让他们体会到成功，让他们在最没有信心的数学上体会成功，从而让他们重塑自信。当学生跟笔者说，老师你不知道我们上数学课都占座时，笔者的内心也有一种成就感，看到更多学生对学习数学有了兴趣，对自己学好数学有了信心，笔者也更加坚定教好下一届学生的信心，所以每年随着学生自信心的增加笔者的自信心也在不断增加。其实学生在内心里渴望尊重，也渴望成功，老师用平等的态度对待他们，与他们沟通，不断地鼓励他们，这样很能打动学生，并在学习的过程中对他们多关注、多帮助，及时鼓励，让他们体验学习数学所获得的成就感，这个成就感会让他们获得自信，也可以进一步培养他们的学习兴趣，有了学习兴趣他就会有积极性，把学习变成一件积极主动的事情，从而形成一个良性循环。如果学生能在自己认为学不好的数学上获得成功的体验，把数学做为一个突破口，在数学学习过程中不断的超越自己，不断的产生自信心，一段时间后，必能超越与自己同等实力的其他人。超越他人后，学生的自信心就得到强化，有了自信就会更加努力，就会有自己的见解，就会独立，就会勇往直前，就会克服困难，每一个困难的克服就会使他更加自信，从而使自己成长为一个内心强大的人。
4.2 通过数学史的渗透树立学生的自信心
数学的产生和发展过程都不是一帆风顺的，需要数学家们坚持不懈的努力，当把自己的成果公布于众时，要做好受到质疑的思想准备，如果没有充分的自信极有可能半途而废。在学习高等数学的过程中有一个牛顿―莱布尼兹公式，大家都比较纳闷为什么这个公式由两个人的名字命名，这个牛顿是物理学中的牛顿吗？在学习的过程给学生介绍这个公式的来历，不仅可以满足学生的好奇心，也可以从另一个侧面说明自信心的重要性。牛顿不仅是一名物理学家，同时也是数学家与化学家，在研究物理问题的同时也推进了数学的发展。牛顿在1671年就已经完成了《流数术与无穷级数》一书，但是这份手稿一直没有发表，到他去世之后于1736年才得以发表。莱布尼茨15岁进入莱比锡大学，从1684年起发表微积分论文。关于微积分创立的优先权，在数学史上曾掀起了一场激烈的争论。后来人们公认牛顿和莱布尼茨是各自独立地创建微积分的。牛顿主要从力学的概念出发，而莱布尼茨侧重于几何。微积分的诞生，虽然解决了大量实际问题，但由于缺乏坚实的理论基础而遭到了一些人的猛烈攻击，甚至有人说微积分是荒谬的理论，代表人物就是微积分创立者之一，牛顿的同胞英国大主教贝克莱。贝克莱指责一些数学家对自己的每一步计算推理既没有给出逻辑，也没有说明理由。当时的大主教是一个很有权威的人物，但是牛顿与莱布尼兹坚信自己的研究是正确的，正是这份自信的存在，不管遇到多大的质疑，他们都不放弃自己的研究。那么贝克莱的质疑是毫无道理的吗？在牛顿的理论中，无穷小量究竟是否为0呢？牛顿需要它什么时候是0，它什么时候就是0，召之即来，挥之即去，没有给出令人信服的理由，就逻辑而言，这无疑是一个矛盾。贝克莱的批评真正抓住了牛顿理论中的缺陷，是切中要害的。因此，数学史上也把贝克莱关于无穷小量是否为零0的问题称之为贝克莱悖论，引发了第二次数学危机。即使这样，牛顿也没有放弃自己的信念，仍然坚信微积分的正确性，直到一个半世纪以后，柯西把无穷小定义为一个以0为极限的变量才基本解决，微积分的理论才得到完善。柯西知难而进，这需要勇气、顽强的意志品质，也需要自信，要知道这一个半世纪，有多少数学家为之努力，无获而返。做为老师在教学生知识的同时更应该教育学生学习数学家们的精神。我们可能不会做出那么大的贡献，但是我们要有这种精神与这种意志品质，尽自己的能力为国家的富强做贡献。
古希腊学者阿基米德曾宣称：“给我一个支点，我将移动地球。”正是这种超越常人的自信，燃起了他无比的智慧，使阿基米德做出了光照科学史册的巨大贡献。2000多年前的埃拉托色尼，用简单的测量工具计算出地球的周长，这简直是一件令人难以置信的事情，如果没有充分的自信，怎么敢去尝试测量地球的周长。当然，做为老师我们要把握好尺度，要鼓励学生自信，但不能让学生成为一个自狂的人，我们学习数学就是要潜移默化地培养学生客观、理性地认识事物、认识自己。
4.3 通过真诚的赞美培养学生的自信心
高职的学生在初、高中的学习生涯中，不是最差的但也不是最好的，所以他们很少遭到批评也很少受到表扬，他们往往是被老师忽略的一部分。美国心理学家威廉姆曾这样说过：“人性最深刻的需求是渴望别人的欣赏。”学生在学习中获得他人的赞美或积极的自我评价，可以提高他们的抱负水平与自信心，促进成绩的提高，成绩越好，期望的动力越强烈，抱负水平也随之越高，对人生就会有一个积极的态度，更加对自己充满了信心；反之，失败后的消极情绪和行为影响会降低以后的抱负水平，挫折感越严重，抱负水平也降得越低，对自己没有信心，会使人产生自卑的心理、压抑的情绪，性格难以得到健康和谐的发展。要想使每一个学生在令人头痛的数学课上取得成功、体验成功，就要注意平时的鼓励与真诚的赞美。要彻底改变传统教育中不轻易表扬，却强化批评的做法，只要学生有出色的地方就要给予真诚的表扬和赞美。英国著名前首相丘吉尔有一句名言：“你要别人具有怎样的优点，你就要这样地去赞美他。”赞美可以让学生为了不辜负教师的期待而全力以赴。对他人真诚的赞美，可以使受赞美者从内心激发出一股自信与冲动，从压抑中走出来，扫除自卑的心理。自觉地克服缺点，增强信心，不断攻取成功的信念与毅力，有一个积极参与向上的心态。数学基础差的同学更加渴求老师的肯定与赞美，关注他们的学习，有一点进步就及时的赞美，会让他们感到温暖，觉得老师没有放弃他们。老师每一次赞美都会让他们觉得自己能行，自己不是破罐子不能破摔，自己并不是自己想像的那样学不会数学，他们会感觉自己是有潜力的，无形之中提高了自己的自信心。
4.4 通过成败的归因分析树立学生的自信心
韦纳的归因理论又称成功与失败的归因理论，该理论指出，学生对成败的归因会引起一系列的情绪反应和期望的改变。成败的归因有两种模式：即积极的归因与消极的归因。积极的归因就是将成功归因于能力和努力奋斗，它不仅能提高学生的学习积极性，而且可以增强自我效能感，会使学生产生自信、自豪等积极的情绪。有助于学生形成乐观开朗、积极向上的性格，能提高学生的自尊心和自信心。做为老师要避免学生将失败归因于能力，引导他们将失败归因于努力不够，尤其是对数学基础差的同学，不要简单的批评、指责他们不听课，其实他们的内心更加渴望得到老师的肯定，也渴求成功的体验。只是担心自己的努力是徒劳的，对自己没有信心，不愿意再次品尝失败的苦果。如果这时老师能给予他们真诚的关爱、鼓励、帮助，私下里跟他们沟通交流，让他知道自己并不是比别人笨，只是方法不得当，或是努力的不够，即使是学习比他好的同学，也不是什么题都会做，只是你跟他的态度不同、信心不同、努力程度不同而已，避免他们把失败归因到自己能力不足，这对他们将来的发展极为不利。数学课上固然是要学生掌握数学知识，但比掌握知识更重要是要爱护学生的心理，相信自己在未来的工作、生活中有能力解决各种问题，有信心应对各类问题比掌握数学知识重要。
给学生关爱，改变批评、指责的方式，多鼓励、多表扬，少一份苛求，多一份宽容，让他们体验到成功的喜悦，持续的成功体验就能形成一个稳定的自信心。有了自信心就愿意付出努力，坚忍不拔地就实现自己的目标，使他们在未来的生活工作中能有一种积极向上的态度。但是我们也要明白持之顽强的自信心，是需要失败与挫折陪伴的，成功与失败有时只是一线之差，这中间需要坚持，需要顽强的意志力。做为老师也应该适当地让学生品尝失败，在失败之中培养他们学会坚持不懈的品质，让他们体会经过努力而得到成功的喜悦，从而坚定自己的自信心。
【参考文献】
[1]董进波，刘廷忠。高职高专学生自信心培养的实验研究[J].青少年研究，2005：20-21.
[2]李善良。论数学学习中自信心的形成[J].数学教育学报，2008，8.
[3]彭移风。大学生心理训练及其效果研究[J].河南职业技术师范学院学报：职业教育版，2005：74-76.
[4]李艳萍。培养中专生数学学习自信心的探索研究[D].南京师范大学，2004.
[5]段润芳。自信心训练对高职生社交焦虑与人际交往能力的影响研究[D].山西医科大学，2011.
微积分论文 篇六
关键词：牛顿 莱布尼兹 微积分
一、微积分的产生
微积分是微分学和积分学的总称。微分学的主要内容包括：极限理论、导数、微分等，积分学的主要内容包括：定积分、不定积分等。如今，微积分已成为基本的数学工具而被广泛地应用于自然科学的各个领域。主要有四种类型的问题：第一类，变速运动求即时速度的问题；第二类，求曲线的切线的问题；第三类，求函数的最大值和最小值问题；第四类，求曲线长、曲边梯形面积、不规则物体的体积、物体的重心、压强等问题。
解决这些科学问题的需要是促使微积分产生的因素。许多著名的科学家，如法国的费马、笛卡尔、罗伯瓦、笛沙格；英国的巴罗、瓦里士；德国的开普勒；意大利的卡瓦列利等人都提出许多有建树的理论，为微积分的创立做出了贡献。
17世纪下半叶，英国大科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别在自己的国度里独自研究和完成了微积分的创立工作。他们的最大功绩是把两个貌似毫不相关的问题联系在一起，一个是切线问题（微分学的中心问题），一个是求积问题（积分学的中心问题）。时代的需要与个人的才识，使他们完成了微积分创立中最后也是最关键的一步。
微积分学的创立，极大地推动了数学的发展，对过去很多束手无策的数学问题运用微积分就会迎刃而解。同时微积分也极大的推动了天文学、力学、物理学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学各个分支中的发展，并在这些学科中应用越来越广泛。
二、莱布尼茨对微积分的贡献
莱布尼茨创立微积分首先是出于几何问题的思考。1673年，他提出了自己的“微分三角形”理论。借助于这种无限小三角形，他迅速地、毫无困难地了建立大量定理。1666年，莱布尼茨在序列的求和运算与求差运算间发现了它们的互逆关系。从1672年开始，他通过把曲线的纵坐标想象成一组无穷序列，得出了“求切线不过是求差，求积不过是求和”的结论。他引进了微分记号“dx”来表示两相邻x的值的差，并给出幂函数的微分与积分公式。不久，他又给出了计算复合函数微分的链式法则。1677年，莱布尼茨在一篇手稿中明确陈述了微积分基本定理。
1684年莱布尼兹发表了他的第一篇微分学论文《新方法》，其中定义了微分并广泛采用了微分记号，明确陈述了函数和、差、积、商、乘幂与方根的微分公式，并包含了微分法在求极值、拐点以及光学等方面的广泛应用。他还得出了复合函数的链式微分法则，后又将乘积微分的“莱布尼兹法则”推广到了高阶情形。1686年，莱布尼兹又发表了他的第一篇积分学论文《深奥的几何与不可分量及无限的分析》。此论文初步论述了积分或求积问题与微分或切线问题的互逆关系，说明了他的方法和符号，积分号 "∫ "第一次出现于印刷出版物上。他引进的符号体现了微分与积分的“差”与“和”的实质，后来获得普遍接受并沿用至今。
三、牛顿对微积分的贡献
牛顿对微积分问题的研究始于他对笛卡尔圆法发生兴趣而开始寻找更好的切线求法。起初他的研究是静态的无穷小量方法，像费尔马那样把变量看成是无穷小元素的集合。1669年，他完成了第一篇有关微积分的论文。论文中不仅给出了求瞬时变化率的一般方法，还证明了面积可由求变化率的逆过程得到。而后牛顿研究变量流动生成法。牛顿第二阶段的工作，主要体现在成书于1671年的一本论著《流数法和无穷级数》中。书中叙述了微积分基本定理，对微积分思想作了广泛而更明确的说明，并最终完成了对初期微积分研究的修正和完善。
在牛顿以前，面积总被看成是无限小不可分量之和，而牛顿则从确定面积的变化率入手，通过反微分计算面积。面积计算与求切线问题的互逆关系，在牛顿这里被明确地作为一般规律揭示出来，并成了建立微积分普遍算法的基础。牛顿的正、反流数术亦即微分与积分，通过揭示它们互逆关系的所谓“微积分基本定理”统一为一个整体。在这样的意义下，牛顿发明了微积分。
在《流数简论》中，牛顿还将他建立的统一算法应用于求曲线的切线、曲率、拐点、曲线求长、求积、求引力与引力中心等问题中，展示了其算法极大的普遍性与系统性。后牛顿又努力改进、完善自己的微积分学说，先后写成了三篇微积分论文：《分析学》（1669）、《流数法》（1671）、《求积术》（1691）。它们真实地再现了牛顿创建微积分学说的思想历程。
四、牛顿、莱布尼创茨立微积分的比较
（一）牛顿和莱布尼茨创立微积分的相同点：
1.都使微积分不再是几何学的延伸，建立在符号运算的基础上，具有一般性，使之成具有广泛应用的学科；
2.把求积问题归结为微分问题的逆问题，从而建立了微积分基本定理；
3.把微积分建立在实无穷小的基础上，后来他们为回避无穷小运算上的矛盾，使用了极限的概念；
4.用代数的方法从过去的几何形式中解脱出来；都研究了微分与反微分之间的互逆关系。
（二）牛顿和莱布尼茨创立微积分的不同点：
1.他们建立微积分的出发点不同。牛顿是在力学研究的基础上，运用几何方法研究微积分的；莱布尼兹主要是在研究曲线的切线和面积的问题上，运用分 析学方法引进微积分要领的。
2.微积分工作的侧重点不同。在积分上，牛顿偏重于求积分的逆运算，即不定积分；而莱布尼茨侧重于求微分的和，即定积分。
3.对微积分具体内容的研究不同。牛顿先有导数概念，后有积分概念；莱布尼兹则先有积分概念，后有导数概念。
4.对无穷小认识的程度不一样。牛顿不分阶，而莱氏分阶，认识比前者深刻。
牛顿认为微积分是纯几何的自然延伸，关心的是微积分在物理学中的应用。经验、具体和谨慎是他的工作特点。而莱布尼茨关心的是广泛意义下的微积分，力求创造建立微积分的完善体系，大胆而毫不犹豫地宣布了新学科的诞生。虽然牛顿和莱布尼茨研究微积分的方法不同，但他们殊途同归，各自独立完成了创建微积分的盛业。
微积分论文 篇七
【论文摘要】微积分是与应用联系发展起来的，它是数学的一个重要的分支，其应用与发展已广泛的渗透到了物理学，化学，经济学等各个自然科学之中，是我们学习各门学科的重要工具。
微积分学是微分学和积分学的统称，它的创立，被誉为“人类精神的最高胜利”。在数学史上，它的发展为现代数学做出了不朽的功绩。恩格斯曾经指出：微积分是变量数学最重要的部分，是数学的一个重要的分支，它实现带科学技术以及自然科学的各个分支中被广泛应用的最重要的数学工具。凡是复杂图形的研究，化学反映过程的分析，物理方面的应用，以及弹道﹑气象的计算，人造卫星轨迹的计算，运动状态的分析等等，都要用得到微积分。正是由于微积分的广泛的应用，才使得我们人类在数学﹑科学技术﹑经济等方面得到了长足的发展，解决了许多的困难。以下将讲述一下定积分在计算图行面积和体积，初等数学中的一些应用。
一、在计算图形面积和立体图形体积上的应用
在学习和生活中，我们常常会遇到一些计算图形面积和体积的问题，而且这些图形大多是无规则的，对这些图形的计算，如果用我们中学的计算面积和体积的数学公式是无法解决，因为中学所学的这些公式都是对比较规则图形实用。但是我们应用了定积分，这样的问题就可迎韧而解。
1.计算平面图形的面积
例1.求抛物线y=x2与直线x+y=2所围的平面图形的面积。
分析：根据题目，我以在坐标系们可中画出y=x2和x+y=2所围的图形，即（图一）其中阴影部分就是所要求的平面图形的面积。
解：由于抛物线y=x2与直线x+y=2在A（-2，4）及B（1，1）相交，
所以S=f（x）dx，其中f（x）=（2﹣x）﹣x2（-2≤x≤1），于是有
S=[（2-x）-x2]dx=（2x--）]1-2=9/2
2.求立体图形的体积
用类似求图形面积的思想，我们也可以求一个立体图形的体积，例如求一个木块的体积，我们可以利用微元法，把木块划分成n份小块，其每一小块的体积厚度为xi，假设每一小块的横截面积为A（x）i则此小块的体积大约为A（xi）xi，从而将其所有的小块相加，我们可以得到其体积为V≈A（xi）xi，并且当其厚度xi趋于零时，由定积分定义有V=A（x）dx（其中a与b分别为计算体积时的起始值和终了值）。对于旋转体的体积，由于其平面截得旋转体的截面是一个圆，则设曲线y=f（x），其截面面积为A（x）=?仔[f（x）]2。于是，所求体积为V=A（x）dx=?仔[f（x）]2dx。
例2.一块由直线y=a和直线x=3a及弧y2=ax，（a>0a≤x≤3a）所共围成的区域，以x轴为轴旋转一周所形成的体积是多少？
分析：（图二）斜线区域即为题意所指的区域，其旋转积求法，可将区域ABQD的旋转体积减去区域ABCD的旋转体积，即为所求。
解：首先来求区域ABQD的旋转体积：
V1=?仔？琢xdx=?仔？琢|=4?仔？琢3
而区域ABCD的旋转体积为一个其半径为a，高为2a的圆柱体，则V2=?仔？琢2•；2?琢=2?仔？琢3
区域CDQ的旋转体积为：V=V1-V2=4?仔？琢3-2?仔？琢3=2?仔？琢3
二、在初等数学中的应用
近些年来，定积分还越来越多的被应用到初等数学中的一些问题上面来，下面就来讨论一下定积分在证明不等式，等式和一些数列的极限方面的应用。
1.证明不等式和等式
在运用积分来证明不等式时，一般要利用到积分的如下性质：设f（x）与g（x）为定义在[a，b]上的两个可积函数，若f（x）≤g（x），x∈[a，b]，则有：f（x）dx≤g（x）dx.
例3.设n∈N，求证：1n（n+1）<1++……+<1+1nn
证明：设是i任意一自然数，则有：
dx=1n|=1n-1n=1n-1n
在区间（，）上显然有i<=idx从而得：1n-1n<………（1）
<1n-1n…………（2）
由（1）式得：[1n-1n]<，所以有1n<
由（2）式得：=1+<1+[1n-1n]=1+1n
于是，综上所述：1n<1++……+<1+1n
以上是应用定积分的性质证明不等式，下面再看关于等式的证明。（注意：在运用定积分证明等式时，要根据等式的特点，作辅助函数，然后再直接积分从而证明等式。）
例4.证明：c+++……+=
证明：设f（x）=c+cx+……+cx=（1+x）n
f（x）dx=cx+x2+……+x
同时又有：（1+x）ndx=
cx+x2+……+x=
当x=1时，可得：c+++……+=
此外，定积分还可用来求和式，根据微分与积分互为逆运算的关系，先对和式积分，利用已知数列的和式得到积分和，再求导数即可，这里就不在介绍了。
2.求数列和的极限
在实际的学习中，我们会发现在计算一些数列和的极限时，可以利用定积分的计算法来求某些可以看成是积分和式的数列极限，这样，我们可得出一种求极限的新方法：若f（x）在[a，b]上连续，将[a，b]等分为几个小区间，x=记分点为：?琢=x0于是：f（x0+ix）x=f（x）dx，并且有些数列的一般项？琢n总可以设法写成？琢n=f（x0+ix）x，因此，有些数列的极限问题，则可以转化为定积分的计算问题。
例5.求：（++……+）
解：原式=（++……+）•；＝•；
取f（x）=且在[0，1]上连续，将[0，1]分成n个小区间，则有x=，分点为：0<<<……<<=1，于是有：f（x0+ix）x=•；，由定积分的存在定理有：原式=•；=dx=1n（1+x）|=1n2。
总而言之，微积分是与应用联系发展起来的。微积分的应用推动了数学的发展，同时也极大的推动了天
文学，物理学，化学，工程学，经济学等自然科学，社会科学及应用科学各个分支中的发展，而且随着人类认识的不断发展，微积分正指引着人类走向认知的殿堂。
参考文献：
微积分论文 篇八
关键词：极限思想；发展；符号表达
极限是高等数学中起着基础作用的概念，在某程度上可以说高等数学的整个体系都建立在这一概念的基础之上。 而极限思想则是指用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想。极限思想作为一种数学思想，从其远古的思想萌芽，发展到现在完整的极限理论，其发展道路上布满了历代数学家们的严谨务实、孜孜以求的奋斗足迹。也是数千年来人类认识世界和改造世界的过程中的一个侧面反应，亦是人类追求真理、追求理想、创新求实的生动写照。极限思想的产生与完善是社会实践的需要，它的产生为数学的发展增加了新的动力，成为了近代数学思想和方法的基础和出发点。
极限思想是微积分学的基本思想，数学中的一系列重要概念，如函数的连续性、导数以及定积分等等都需要借助于极限来加以定义。 微积分则是现代数学的基础，要学好微积分，就应该了解极限思想，学会用极限思想来理解这些概念，进而把微积分学知识应用于日常生活和生产实践中，体会数学源于生产实践，服务于生产实践的事实。但是，极限思想较为晦涩，一向被视为是一难于理解的数学概念，若在教学中，加入一些涉及极限思想的故事及发展历程，则会有利于学生了解极限思想与微积分学之间的关系，从而加深对其概念的理解。
极限思想的发展，总数起来可认为有三个阶段：
阶段一，小荷才露尖尖角，朴素极限思想的出现。与所有的科学思想方法相同，极限思想同样是社会生产实践的产物。追溯到古代，战国时庄子与其弟子所著的《庄子》一书中的《庄子·天下篇》中，提到：“一尺之捶，日取其半，万世不竭。” 即：若取一根一尺长的棍子，第一天截去一半，第二天截去剩下的一半，此后每天都截取剩余的一半，如此永远也不能取尽。此说法认为物质是可以无限分割的，其中蕴含了朴实的极限思想，具有很高的学术价值，但却偏重于哲学的角度，与数学的联系还没有建立。而三世纪的刘徽的 “割圆术”：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，公元五世纪祖冲之计算圆周率的方法、公元前五世纪希腊学者德漠克利特为解决不可公度问题创立的“原子论”、公元前三世纪古希腊诡辩学家安提丰在求圆面积过程中提出的“穷竭法”等等问题中，在蕴含了最原始的朴素的极限思想的同时，开始从数学角度思考问题。
16世纪时，荷兰的数学家斯泰文在三角形重心的研究中，改进了由欧道克斯提出的“穷竭法”，借助几何图形的直观性，利用极限思想考虑问题，并在无意中“指出了把极限方法发展成为一个实用概念的方向”，但却没有脱离当时的社会实际。
阶段二，极限思想在数学上的正式提出，改善和发展阶段。极限思想的进一步发展与微积分的建立紧密相联。16世纪的欧洲，资本主义正处于萌芽时期，生产力得到极大的发展。随着生产力的发展，生产和技术中出现了大量的问题，只用初等数学的方法根本无法解决，例如描述和研究变速直线的过程、曲边梯形的面积等等。这些问题的解决需要数学突破只研究常量的传统范围，这些是促进极限发展、建立微积分的社会背景。
当牛顿和莱布尼茨以无穷小概念为基础建立微积分时，遇到了逻辑困难。牛顿在描述作变速运动的物体在某一时刻t时的瞬时速率时，用路程的改变量S与时间的改变量Δt的比值ΔS/Δt表示运动物体的平均速度，当Δt无限趋近于零，该比值无限趋近于一与Δt无关的常数，该常数即物体在时刻t时的瞬时速度，并由此引出导数概念和微分学的基本理论。在叙述瞬时速率时，他已意识到了极限概念的重要性，也想以极限概念作为微积分的基础，初步提出了极限的直观性定义：“如果当n 无限增大时，如果an无限接近于常数A，那么就说an以A为极限。”但牛顿给出的极限观念与荷兰斯泰文同样也是建立在几何直观上的，这种直观的定性解释并没有给出极限的严格表述，也没有解决当时的数学危机，因此在此基础上，同时代及后起许多数学家对极限的概念进行了完善。
也是因为当时缺乏严格的极限定义，微积分理论才会在那个时代受到人们的怀疑与攻击，例如，在瞬时速度概念的描述中，究竟Δt是否等于零？而如果说是零，零是不能做分母的，怎么能用它去作除法呢？但是若Δt不是零，却又不能把包含着Δt的项去掉。这就是数学史上所说的无穷小悖论。在攻击微积分学的大家中，英国哲学家、大主教贝克莱的攻击最为激烈，他认为微积分的推导是“分明的诡辩”。
贝克莱激烈攻击微积分的原因有两个，首先他要为宗教服务，其次也是因为当时的微积分缺乏牢固的理论基础，即使牛顿自己也无法清楚地解释极限概念中的混乱。事实证明，严格极限的概念，建立严格的微积分理论基础，既是数学本身发展的需求，也有认识论上的重大意义。
阶段三，极限概念的定量化和数学符号表达阶段。这阶段主要指由柯西精确定义，维尔斯特拉斯用符号精确表达极限的阶段。
19世纪，法国数学家柯西在他的著作《分析教程》中指出：“当一个变量逐次所取的值无限趋于一个定值，最终使变量的值和该定值之差要多小就多小，这个定值就叫做所有其他值的极限值，特别地，当一个变量的数值（绝对值）无限地减小使之收敛到极限0，就说这个变量成为无穷小”。尽管这个定义是建筑在前人工作的基础上，但还是相对完整地阐述了极限概念及其理论。但是这个定义仍然欠粗糙，说用语句中的“无限接近”、“要多小就有多小”等都只能给人一种模糊的直觉，并没有彻底摆脱残存在头脑中的几何直观印象。
19世纪后半叶，德国的维尔特拉斯则提出了关于极限的纯算数定义，并给出了沿用至今所用的极限的符号。
极限的定义经过几代人的不断完善、严格，最终解决了微积分理论发展期所面临的强大逻辑质疑，给微积分学提供了严格的理论基础。也正是如此，数学由常量数学正式进入变量数学的时代，极限的数学定义，沿用至今，成了微积分发展的重要里程碑。
极限思想在现代数学和物理学、天文学、化学甚至经济学、建筑学等学科中都有着广泛的应用，这也是由它本身固有的思维功能所决定的。极限思想揭示了变量与常量、无限与有限的对立统一关系，是唯物辩证法的对立统一规律在数学领域中的应用。极限又是微积分的基本概念，是微积分学的直接基础，也是微积分学区别于常量数学的重要工具，二者是相辅相成、密不可分的。极限思想扩展了数学能够分析研究的范围，促进了微积分的发展和完善，而微积分学在各个学科中的应用也是源于极限思想这个坚实理论基础。
参考文献
[1]白淑珍：《对极限思想的辨证理解》[J]；《中国校外教育》2008（02）：39-40
[2]李文林。数学史教程[M].北京：高等教育出版社，2000：255
[3]钱佩玲，邵光华。数学思想方法与中学数学[M].北京：北京师范大学出版社，1999：319
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